PAT-1 Mathematics O-Net

EP.1 การแก้โจทย์ลิมิตของลำดับ

Written by จักรพงษ์ แผ่นทอง on พฤษภาคม 31, 2025

โจทย์

กำหนดให้ $a_n = \left(\frac{(-1)^n + \cos n\pi}{(-1)^n 5}\right)^n$ และ $b_n = \frac{n^3}{n^2+1} - \frac{n^3}{n^2-2n}$

จงหา $\lim_{n \to \infty}(a_n - b_n + a_n b_n)$

วิธีทำ

ขั้นตอนที่ 1: การหาค่า $a_n$

ในการแก้โจทย์นี้ เราต้องเริ่มจากการวิเคราะห์ค่าของ $\cos n\pi$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็ม เราจะพบว่า $\cos n\pi = (-1)^n$ เสมอ

ดังนั้นเราสามารถเขียน $a_n$ ใหม่ได้เป็น:

$a_n = \left(\frac{(-1)^n + (-1)^n}{(-1)^n \cdot 5}\right)^n$

เมื่อรวมพจน์ในเศษจะได้:

$a_n = \left(\frac{2(-1)^n}{(-1)^n \cdot 5}\right)^n$

การยกเลิกเทอม $(-1)^n$ ทั้งเศษและส่วนจะให้ผลลัพธ์เป็น:

$a_n = \left(\frac{2}{5}\right)^n$

ขั้นตอนที่ 2: การหาค่า $b_n$

สำหรับ $b_n$ เราจะเริ่มจากการแยกตัวประกอบ $n^3$ ออกมา:

$b_n = \frac{n^3}{n^2+1} - \frac{n^3}{n^2-2n}$

$= n^3 \left(\frac{1}{n^2+1} - \frac{1}{n^2-2n}\right)$

การรวมเศษส่วนโดยใช้ส่วนร่วมจะได้:

$= n^3 \left(\frac{n^2-2n - (n^2+1)}{(n^2+1)(n^2-2n)}\right)$

เมื่อกระจายและรวมพจน์ในเศษ:

$= n^3 \left(\frac{-2n-1}{(n^2+1)(n^2-2n)}\right)$

$= \frac{n^3(-2n-1)}{(n^2+1)(n^2-2n)}$

การแยกตัวประกอบในส่วนจะได้:

$= \frac{-n^3(2n+1)}{n^2(n+1)(n-2)} = \frac{-n(2n+1)}{(n+1)(n-2)}$

เมื่อ $n \to \infty$ เราสามารถประมาณค่าได้โดยพิจารณาเทอมที่มีดีกรีสูงสุด:

$b_n \approx \frac{-n \cdot 2n}{n \cdot n} = \frac{-2n^2}{n^2} = -2$

ดังนั้น $\lim_{n \to \infty} b_n = -2$

ขั้นตอนที่ 3: การหาลิมิตของนิพจน์ที่กำหนด

เมื่อ $n \to \infty$ เราสามารถวิเคราะห์พฤติกรรมของแต่ละเทอมได้ดังนี้:

$a_n = \left(\frac{2}{5}\right)^n \to 0$ เนื่องจาก $\frac{2}{5} < 1$ ทำให้เลขยกกำลัง $n$ ที่เพิ่มขึ้นจะทำให้ค่าเข้าใกล้ศูนย์
$b_n \to -2$ ตามการวิเคราะห์ข้างต้น
$a_n b_n \to 0 \cdot (-2) = 0$ เนื่องจาก $a_n \to 0$

การประยุกต์ใช้สมบัติของลิมิต:

$\lim_{n \to \infty}(a_n - b_n + a_n b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n - \lim_{n \to \infty} b_n + \lim_{n \to \infty} a_n b_n$

แทนค่าที่หาได้:

$= 0 - (-2) + 0 = 2$

สรุป

จากการวิเคราะห์และคำนวณทั้งหมด เราสามารถสรุปได้ว่า:

$\boxed{\lim_{n \to \infty}(a_n - b_n + a_n b_n) = 2}$

การแก้โจทย์นี้แสดงให้เห็นถึงความสำคัญของการทำความเข้าใจพฤติกรรมของลำดับที่แตกต่างกัน และการประยุกต์ใช้สมบัติของลิมิตในการหาคำตอบของปัญหาที่ซับซ้อน

Related

Discover more from KruJakkrapong 's Blog

Subscribe to get the latest posts sent to your email.

Leave a ReplyCancel reply