Written by การแข่งขันคิดเลขเร็วในงานศิลปหัตถกรรม ในระดับมัธยมศึกษาทั้งต้นและปลาย สามารถใช้งานแฟกทอเรียลได้ แต่การสุ่มเลขมาบางครั้งเราคิดได้ผลลัพธ์แล้ว ใช้เลขน้อยกว่าที่สุ่มมา เหลือเลขบางตัวที่ต้องกำจัดออก หรือใช้ให้หมด เช่น กรณีนี้
สุ่มเลข 4, 5, 6, 5 = 91
ณ ขณะแข่งขัน คิดใช้สูตร summation ได้ดังนี้
$$\sum_{i=5-4}^{\frac{6!}{5!}}i \times i =91$$
จากสูตรเราจะเห็นว่า ผมมี 5 และ 6 แต่ต้องการได้แค่ 6 เพียงตัวเดียว จึงใช้วิธีแฟกทอเรียลเข้ามาช่วย
หลายคนอาจจะยังไม่รู้จักแฟกทอเรียลกัน เรามาเรียนรู้กันก่อนนะครับ
เครื่องหมายตกใจ หรือที่เรียกกันในทางคณิตศาสตร์ว่า แฟกทอเรียล พูดกันง่ายๆ คือ มันมีไว้เพื่อเอาใส่ข้างหลังจำนวนจำนวนนับ 1, 2, 3,… และรวมกับ 0 อีกตัวหนึ่งด้วย
ถ้าพูดให้งงๆ นิดหนึ่งทางคณิตศาสตร์คือ ฟังก์ชันที่ส่งจากเซต {0, 1, 2,…} ไปยัง เซต {1, 2, 3,…}
แต่อย่างไรก็ตามผมจะพยายามอธิบายแบบคนทั่วไปเพราะคุณอาจจะปิดเบราเซอร์ออกจากเว็บผมเดี๋ยวนี้หากอธิบายเป็นภาษาราชการจนเกินไป
ถ้าผมเอาเลขจำนวนนับ หรือ 0 มาใส่เครื่องหมาย ตกใจ หรือ ที่อ่านมันว่า แฟกทอเรียล มันจะมีค่าเท่ากับ การเอาเลขนั้นคูณกับจำนวนที่ลดลงไปทีละ 1 คูณกันไปเรื่อยๆ จนกระทั่งถึง 1 ค่อยจะหยุดคูณ เช่น
$$5!=5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$$
ดังนั้น เราจะได้ว่า พวกจำนวนนับ 6 ตัวแรกเป็นดังนี้
$$1!=1$$
$$2!= 2 \times 1 = 2$$
$$3!=3 \times 2 \times 1 =6$$
$$4!=4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$
$$5!=5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$$
$$6!=6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$$
เราจะเห็นว่า $$n!=n \times (n-1)!$$
หากเราแทน n ด้วย 1 ลงไปจะได้
$$1!= 1 \times (1-1)!=0! $$
นี่เป็นการแสดงให้เห็นอย่างง่ายๆ ว่า ให้ 0!=1 นั่นเองครับ
เมื่อเข้าใจแฟกทอเรียลแล้ว คราวนี้เรามาเข้าเรื่องตามหัวข้อกันเลยนะครับ วันนี้ผมจะพากำจัดจำนวนที่อยู่ติดกัน เช่น เรามี 3 กับ 4 ผมอยากกำจัด 3 ออกไป ให้เหลือเฉพาะ 4 เพียงตัวเดียว จะทำได้อย่างนี้ครับ
$$\frac{4!}{3!}=\frac{
4 \times 3 \times 2 \times 1 }{
3 \times 2 \times 1 }=4$$
นั่นหมายความว่า หากเรามีเลขที่ติดกัน อยากกำจัดตัวเลขที่น้อยกว่า สามารถทำได้เสมอ โดยการใส่แฟกทอเรียลตัวมากไว้ด้านบน หารด้วย ตัวน้อยใส่แฟกทอเรียล นั่นเองครับ ยกตัวอย่างอีกสักตัวนะ มี 8 กับ 9 อยากได้ 9 อย่างเดียว
$$\frac{9!}{8!}=9$$
ลองเอาเทคนิคนี้ไปใช้กันดูนะครับ ขอให้โชคดีกับการแข่งขันทุกสนามครับ
หากต้องการ หนังสือ Sum Book รวมสูตร Summation หรือ ซิกม่า ช่วยอุดหนุน E-BOOK ของเราได้ ที่นี่ ถูกมาก เล่มละ 50 บาท