ลิมิตของฟังก์ชันแบบธรรมดาแต่ไม่ธรรมดา

บทความนี้ผมจะพามาหาลิมิตของฟังก์ชันแบบธรรมดาๆ กันนะครับ หลังจากที่อธิบายกันไปแล้วในบทความนี้ ว่าลิมิตของฟังก์ชันมันคืออะไรนะครับ ถ้าเรามองดีๆ เราจะพบว่า การหาลิมิตของฟังก์ชัน มันไม่ค่อยต่างจากการแทนค่าฟังก์ชันเลยใช่ไหมครับ บทความนี้ผมจะมาขยายความแตกต่าง พร้อมยกตัวอย่างให้ดูกันชัดๆ ไปเลยว่า แทนค่าฟังก์ชัน กับ ลิมิตของฟังก์ชันมันแตกต่างกันตรงไหน

แทนค่าฟังก์ชัน กับ ลิมิตฟังก์ชัน

การแทนค่าฟังก์ชัน หรือจะเรียกว่า การหาค่าของฟังก์ชันก็ได้ครับ ฟังก์ชันมันจะมีโดเมน นิยมใช้ตัวแปร x ส่วน ค่าของฟังก์ชันจะเป็นค่าที่เกิดจากการแทนค่า x เข้าไปจนได้ y (เรียกว่าเรนจ์) ออกมานั่นเอง

ถ้ามองบนกราฟ ขอยกตัวอย่างกราฟนี้นะครับ

อาจจะดูซับซ้อนไปหน่อย เพราะเป็นฟังก์ชันขั้นบรรไดครับ ช่วงแรก ช่วง x < 0 จะเห็นกราฟของ sin x ช่วงถัดมาจะเป็นกราฟ 1-cos x และช่วงสุดท้าย เป็น กราฟเส้นตรง ดังภาพครับ

ในภาพด้านบน จะแทน a=x นะครับ ถ้าเลื่อน a ไปในทิศทางใด แสดงว่ากำลังเปลี่ยนค่าของฟังก์ชันไปเรื่อยๆ บนกราฟครับ

เช่น ขณะนี้ x=1.72 จะได้ค่าของฟังก์ชัน 1.15 ครับ

แล้วถ้าเราหาลิมิตละ

[mathjax]

$\lim_{x \to 1.72}f(x)=?$

ลองเดาดูสิคับว่า จะได้เท่าไร

คำตอบคือ ได้ค่าลิมิตเท่ากับ 1.15 ครับ

เราจะเห็นว่า ค่าของฟังก์ชัน มัน ก็คือค่าลิมิตของฟังก์ชัน ณ จุดนั้นนั่นเอง แต่ทว่า มันไม่ได้เป็นอย่างนี้ทุกกรณีสิครับ เรามาดูกันเลย

ผมจะเลื่อนค่า x ไปยัง x=3.12 เราพบว่า ค่าของฟังก์ชัน เป็น 2 ในขณะที่ลิมิต ณ จุดนี้ ต้องหาทางซ้าย และ ทางขวา เพราะเป็นรอยต่อพอดี เมื่อเราพิจารณาแล้วพบว่า

$\lim_{x \to {3.12}^{-}}f(x)=2$