Written by บทความนี้ผมจะพามาหาลิมิตของฟังก์ชันแบบธรรมดาๆ กันนะครับ หลังจากที่อธิบายกันไปแล้วในบทความนี้ ว่าลิมิตของฟังก์ชันมันคืออะไรนะครับ ถ้าเรามองดีๆ เราจะพบว่า การหาลิมิตของฟังก์ชัน มันไม่ค่อยต่างจากการแทนค่าฟังก์ชันเลยใช่ไหมครับ บทความนี้ผมจะมาขยายความแตกต่าง พร้อมยกตัวอย่างให้ดูกันชัดๆ ไปเลยว่า แทนค่าฟังก์ชัน กับ ลิมิตของฟังก์ชันมันแตกต่างกันตรงไหน
แทนค่าฟังก์ชัน กับ ลิมิตฟังก์ชัน
การแทนค่าฟังก์ชัน หรือจะเรียกว่า การหาค่าของฟังก์ชันก็ได้ครับ ฟังก์ชันมันจะมีโดเมน นิยมใช้ตัวแปร x ส่วน ค่าของฟังก์ชันจะเป็นค่าที่เกิดจากการแทนค่า x เข้าไปจนได้ y (เรียกว่าเรนจ์) ออกมานั่นเอง
ถ้ามองบนกราฟ ขอยกตัวอย่างกราฟนี้นะครับ
อาจจะดูซับซ้อนไปหน่อย เพราะเป็นฟังก์ชันขั้นบรรไดครับ ช่วงแรก ช่วง x < 0 จะเห็นกราฟของ sin x ช่วงถัดมาจะเป็นกราฟ 1-cos x และช่วงสุดท้าย เป็น กราฟเส้นตรง ดังภาพครับ
ในภาพด้านบน จะแทน a=x นะครับ ถ้าเลื่อน a ไปในทิศทางใด แสดงว่ากำลังเปลี่ยนค่าของฟังก์ชันไปเรื่อยๆ บนกราฟครับ
เช่น ขณะนี้ x=1.72 จะได้ค่าของฟังก์ชัน 1.15 ครับ
แล้วถ้าเราหาลิมิตละ
$$ \lim_{x \to 1.72}f(x)=?$$
ลองเดาดูสิคับว่า จะได้เท่าไร
คำตอบคือ ได้ค่าลิมิตเท่ากับ 1.15 ครับ
เราจะเห็นว่า ค่าของฟังก์ชัน มัน ก็คือค่าลิมิตของฟังก์ชัน ณ จุดนั้นนั่นเอง แต่ทว่า มันไม่ได้เป็นอย่างนี้ทุกกรณีสิครับ เรามาดูกันเลย
ผมจะเลื่อนค่า x ไปยัง x=3.12 เราพบว่า ค่าของฟังก์ชัน เป็น 2 ในขณะที่ลิมิต ณ จุดนี้ ต้องหาทางซ้าย และ ทางขวา เพราะเป็นรอยต่อพอดี เมื่อเราพิจารณาแล้วพบว่า
$$ \lim_{x \to {3.12}^{-}}f(x)=2$$
ส่วนลิมิตทางขวา
$$ \lim_{x \to {3.12}^{+}}f(x)=3$$
วิธีดูว่าลิมิตซ้ายขวา มีค่าเท่าใด ลองอ่านดูบทความนี้ครับ
ดังนั้นเราสรุปว่า $$ \lim_{x \to 3.12}f(x)$$ หาค่าไม่ได้ครับ
ทำให้เรารู้ว่า ค่าของฟังก์ชัน ไม่เท่ากับ ลิมิตของฟังก์ชันเสมอไป
มันจะเท่ากับ กรณีที่ ณ จุดนั้น เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องครับ
บทความนี้ต้องการให้รู้ว่าและตระหนักจุดนี้นั่นเองครับ