ลิมิตของลำดับ [แบบนี้อาจถูกหลอก]

วันนี้ผมสอนห้องกิ๊ฟเท็ด ฉะนั้นเนื้อหาอาจจะต้องยากกว่าเดิมอีกนิดหน่อย เป็นนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เรื่องลิมิตของลำดับอนันต์ครับ

เรื่องลิมิตของลำดับเป็นพื้นฐานที่สำคัญเรื่องหนึ่ง ที่นักเรียนจำเป็นต้องมี เพราะการเรียนเรื่องนี้มันมีความเกี่ยวเนื่องไปจนถึงเรื่อง calculus เป็นเรื่องการหาลิมิตของฟังก์ชัน ลำดับก็ถือว่าเป็นฟังก์ชันอันหนึ่งเช่นกันครับ

ถ้าจะอธิบายง่ายๆ ว่าลิมิตมันคืออะไรนะครับ ก็คือ การดูพฤติกรรมของลำดับว่า พจน์ที่อยู่ไกลๆ หรือหางของลำดับมันจะมีค่าเป็นอย่างไร ถ้ามันลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งลำดับนั้นก็จะถูกเรียกว่ามัน ลู่เข้า หรือ คอนเวอร์เจนต์ (Convergent) แต่ถ้าหากลำดับนั้นมีค่ามากขึ้นเรื่อยๆ หรือน้อยขึ้นเรื่อยๆ หรือแม้กระทั่งสลับไป สลับมามีค่าเป็นสองค่าตลอดเวลา แบบนี้เรียกว่าลำดับ ลู่ออก หรือ ไดเวอร์เจนต์ (Divergent)

ถ้าเอาแบบนิยามของลิมิตจริงๆ ซึ่งถ้าใครได้เรียนสายคณิตมาจะรู้ดีว่า การลู่เข้าของลิมิตมันสามารถอธิบายด้วยนิยาม ลองศึกษาจากตัวอย่างนี้ครับ

https://www.geogebra.org/m/GAcTpGCh

แล้วบทความนี้ล่ะ จะทำอะไรดี

ผมจะพามาหาลิมิตของลำดับหนึ่งที่ขณะสอนนั้น ชะล่าใจไปนิดหนึ่งเลยถูกหลอกด้วยโจทย์ครับ

การหาลิมิตเมื่อเราเข้าใจหลักการของมันแล้ว บางลำดับมันสามารถดูแค่ดีกรีของเศษและส่วนเท่านั้นเราก็สามารถบอกได้ว่าลิมิตลู่เข้าหรือไม่ได้เลยครับ แทบไม่ต้องคำนวณกันเลยทีเดียว เพราะถ้าหากดีกรีสูงสุดของเศษและส่วนมีค่าเท่ากันแล้ว ค่าลิมิตมันจะมีค่าเท่ากับสัมประสิทธิ์ของเศษ หารด้วยส่วนเท่านั้นเอง

เรามาดูโจทย์นี้กันก่อนเลยครับ

$$a_n=\frac{(\sqrt{n^2-1})(2n+\sqrt{n^2+1})^2}{n^2(3n-1)}$$

เมื่อพิจารณาคร่าวๆ นั้น เราจะพบว่า ดีกรีสูงสุดของ เท่ากับ 1 และดีกรีสูงสุดของ น่าจะเกิด เมื่อนำไปคูณกับส่วนหน้าจะได้ดีกรีของเศษทั้งหมดเป็น 3 และมีสัมประสิทธิ์ เป็น 4

มาดูส่วนกันต่อ เมื่อคูณแล้วจะมีดีกรีสูงสุดเท่ากับ 3 เช่นกัน และมีสัมประสิทธิ์เท่ากับ 3

เพราะฉะนั้นข้อนี้ควรจะมีลิมิตเป็น 4/3 ใช่หรือไม่?

คำตอบคือ ผิด เพราะ?

อย่าลืมว่า มันมีการยกกำลังสองสมบูรณ์ของ มันจะเกิดพจน์กลางและพจน์ท้าย ซึ่งดีกรีมันไปเท่ากับ 2 ทั้งสองพจน์ นั่นคือ

$$ (2n+\sqrt{n^2+1})^2=4n^2+4n( \sqrt{n^2+1})+ n^2+1 $$

เท่ากับว่า เมื่อคูณกับพจน์หน้า ซึ่งมีดีกรีเป็นหนึ่ง แล้วจะทำให้เกิดพจน์ดีกรี 3 ขึ้นอีก จำเป็นต้องเอาสัมประสิทธิ์มารวมกันด้วยครับ

เมื่อรวมกันทั้งหมดแล้ว สัมประสิทธิ์ของดีกรีสูงสุดของเศษ จะเท่ากับ 9 เลยทีเดียว

คราวนี้ก็มาดูดีกรีของส่วนเป็น 3 เมื่อนำมาหารกันจะได้คำตอบเท่ากับ 3 นั่นเองครับ

เราจะแก้ปัญหานี้โดยไม่จำเป็นต้องกระจายกำลังสองสมบูรณ์ได้หรือไม่?

คำตอบคือ ได้ครับ โดยการแบ่งพจน์เพื่อหาลิมิตแยกเป็นสองก้อนที่หาค่าได้ ครับ ดังนี้

$$\lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}\frac{(\sqrt{n^2-1})(2n+\sqrt{n^2+1})^2}{n^2(3n-1)}$$
$$=\lim_{n \to \infty}\frac{(\sqrt{n^2-1})(2n+\sqrt{n^2+1})^2}{n^2(3n-1)}$$
$$=\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{n^2-1}}{3n-1}\times \lim_{n \to \infty}\frac{(2n+\sqrt{n^2+1})^2}{n^2}$$
$$=\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{\frac{n^2-1}{n^2}}}{\frac{3n-1}{n}}\times \lim_{n \to \infty}\left ( \frac{2n+\sqrt{n^2+1}}{n}\right )^2$$
$$=\frac{1}{3}\times 3^2$$
$$=3$$

เรามีแบบฝึกหัดอีก 2 ข้อให้ลองฝึกฝนกันดูครับ $$1. a_n=\frac{\sqrt{1+2n^2}\left ( n^2+\sqrt[5]{n^{10}+1} \right )^5}{2n^{11}-1}$$

$$2. a_n=\frac{\sqrt{n^2+1}\left ( n^2+\sqrt[3]{n^{6}+1} \right )^3}{\sqrt{4n^{14}+1}}$$

ลองทำดูนะครับ ข้อ 1 เฉลย ส่วนข้อ 2. นั้นให้หาเอง อิอิ