อนุกรมเลขคณิตสองชั้น พร้อมผลบวก n พจน์แรก

[mathjax]

ผมสอนนักเรียนชั้น ม.6 ครับ เรื่อง ลำดับและอนุกรมครับ วันนี้ก็เลยมีโอกาสสอนลำดับหนึ่งซึ่งตอนไปฝึกสอนที่โรงเรียนสาธิตมหาวิทยาลัยขอนแก่น

เรื่อง ลำดับเลขคณิตสองชั้นครับ

จากปกติเรารู้ว่า ลำดับเลขคณิต ง่ายๆ เช่น 1, 3, 5, 7,… ลำดับมีผลต่างร่วม คือ มันต่างกันทีละ 2 จาก 1 ไป 3 จาก 3 ไป 5 และจาก 5 ไป 7 จะมีผลต่างร่วมเป็น 2 ทุกๆ พจน์ไป เป็นเช่นนี้เรื่อยๆ

อย่างนี้เรียกว่า ลำดับเลขคณิต “ธรรมดา”

ลำดับเลขคณิตที่ผมจะอธิบายวันนี้ คือ มันเป็นสองชั้นครับ

ดูลำดับนี้

1, 4, 10, 19, …

ถ้านำ 4-1=3  10-4=6   19-10=9

จะเห็นว่า มันเพิ่มขึ้น เป็น 3, 6, 9,…

นั่นคือ ผลต่างของมันจะเรียงเป็นลำดับเลขคณิต คือ 3, 6, 9,…

คือมันเป็นลำดับแบบสองชั้นครับ

การหาพจน์ทั่วไปของลำดับสองชั้นนั้น มันจะอยู่ในรูป a_n=an^2+bn+c เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริง

เราจะมาหาว่า a, b, c นี่มันคืออะไรกันแน่ โดยการใช้พจน์สามพจน์แรกครับ

แทนค่า a_1=1, a_2=4, a_3=10

จะได้ดังนี้

    \[1=a+b+c\]

 …(1)

    \[4=4a+2b+c\]

…(2)

    \[10=9a+3b+c\]

…(3)

มาแก้สมการกันครับ

เริ่มจากการกำจัดตัวแปร c โดยนำ (2)-(1)

    \[3=3a+b\]

…(4)

ต่อไป นำ (3)-(2)

    \[6=5a+b\]

…(5)

จากสองสมการ (4) และ (5) เราจะมาแก้สมการหา b กันครับ นำ (5)-(4) จะได้

    \[3=2a\]

ดังนั้น

    \[a=\frac{3}{2}\]

เมื่อได้ a แล้ว นำ a ไปแทนใน (4) จะได้

    \[3=3\frac{3}{2}+b\]

ย้ายข้างหาค่า b จะได้

    \[b=-\frac{3}{2}\]

แทน a, b ใน (1) จะได้

    \[1=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}+c\]

แก้สมการจะได้

    \[c=1\]

ดังนั้นเราจะได้ a, b, c แล้วนำมาใส่ในสมการทั่วไป ได้ดังนี้

    \[a_n=\frac{3}{2}n^2-\frac{3}{2}n+1\]

แค่นี้เราก็จได้พจน์ทั่วไปแล้วครับ

ต่อเนื่องไปยังผลบวก n พจน์แรกเลยนะ

เนื่องจาก เรารู้ว่า

    \[S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n=\sum_{i=1}^{n}a_i\]

เราจะมาหาผลบวก n พจน์แรก โดยการใส่ซัมเมชั่นเข้าไปใน a_n

จะได้

    \[S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i\]

คำนวณจะได้

    \[S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i=\sum_{i=1}^{n}(\frac{3}{2}i^2-\frac{3}{2}i+1)\]

    \[=\sum_{i=1}^{n}\frac{3}{2}i^2-\sum_{i=1}^{n}\frac{3}{2}i+\sum_{i=1}^{n}1\]

    \[=\frac{3}{2}\sum_{i=1}^{n}i^2-\frac{3}{2}\sum_{i=1}^{n}i+n\]

    \[=\frac{3}{2}\frac{n}{6}(n+1)(2n+1)-\frac{3}{2}\frac{n}{2}(n+1)+n\]

    \[=\frac{n}{4}(n+1)(2n+1)-\frac{3n}{4}(n+1)+n\]

นั่นคือเราจะได้ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมดังกล่าวไว้ใช้งานต่อไปครับ

ขอจบเท่านี้ครับ


Comments

หนึ่งความเห็นตอบกลับที่ “อนุกรมเลขคณิตสองชั้น พร้อมผลบวก n พจน์แรก”

  1. ดีเลยค่ะ ได้ความรู้เพิ่มเติม เพราะดิฉันเรียนศิลป์มา ขอบคุณมาก

Leave a Reply