Play Pause Unmute Mute

อนุกรมเลขคณิตสองชั้น พร้อมผลบวก n พจน์แรก

Written by จักรพงษ์ แผ่นทอง in Mathematics on ธันวาคม 13, 2017

[mathjax]

ผมสอนนักเรียนชั้น ม.6 ครับ เรื่อง ลำดับและอนุกรมครับ วันนี้ก็เลยมีโอกาสสอนลำดับหนึ่งซึ่งตอนไปฝึกสอนที่โรงเรียนสาธิตมหาวิทยาลัยขอนแก่น

เรื่อง ลำดับเลขคณิตสองชั้นครับ

จากปกติเรารู้ว่า ลำดับเลขคณิต ง่ายๆ เช่น 1, 3, 5, 7,… ลำดับมีผลต่างร่วม คือ มันต่างกันทีละ 2 จาก 1 ไป 3 จาก 3 ไป 5 และจาก 5 ไป 7 จะมีผลต่างร่วมเป็น 2 ทุกๆ พจน์ไป เป็นเช่นนี้เรื่อยๆ

อย่างนี้เรียกว่า ลำดับเลขคณิต “ธรรมดา”

ลำดับเลขคณิตที่ผมจะอธิบายวันนี้ คือ มันเป็นสองชั้นครับ

ดูลำดับนี้

1, 4, 10, 19, …

ถ้านำ 4-1=3 10-4=6 19-10=9

จะเห็นว่า มันเพิ่มขึ้น เป็น 3, 6, 9,…

นั่นคือ ผลต่างของมันจะเรียงเป็นลำดับเลขคณิต คือ 3, 6, 9,…

คือมันเป็นลำดับแบบสองชั้นครับ

การหาพจน์ทั่วไปของลำดับสองชั้นนั้น มันจะอยู่ในรูป $a_n=an^2+bn+c$ เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริง

เราจะมาหาว่า a, b, c นี่มันคืออะไรกันแน่ โดยการใช้พจน์สามพจน์แรกครับ

แทนค่า $a_1=1, a_2=4, a_3=10$

จะได้ดังนี้

$1=a+b+c$

…(1)

$4=4a+2b+c$

…(2)

$10=9a+3b+c$

…(3)

มาแก้สมการกันครับ

เริ่มจากการกำจัดตัวแปร c โดยนำ (2)-(1)

$3=3a+b$

…(4)

ต่อไป นำ (3)-(2)

$6=5a+b$

…(5)

จากสองสมการ (4) และ (5) เราจะมาแก้สมการหา b กันครับ นำ (5)-(4) จะได้

$3=2a$

ดังนั้น

$a=\frac{3}{2}$

เมื่อได้ a แล้ว นำ a ไปแทนใน (4) จะได้

$3=3\frac{3}{2}+b$

ย้ายข้างหาค่า b จะได้

$b=-\frac{3}{2}$

แทน a, b ใน (1) จะได้

$1=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}+c$

แก้สมการจะได้

$c=1$

ดังนั้นเราจะได้ a, b, c แล้วนำมาใส่ในสมการทั่วไป ได้ดังนี้

$a_n=\frac{3}{2}n^2-\frac{3}{2}n+1$

แค่นี้เราก็จได้พจน์ทั่วไปแล้วครับ

ต่อเนื่องไปยังผลบวก n พจน์แรกเลยนะ

เนื่องจาก เรารู้ว่า

$S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n=\sum_{i=1}^{n}a_i$

เราจะมาหาผลบวก n พจน์แรก โดยการใส่ซัมเมชั่นเข้าไปใน $a_n$

จะได้

$S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i$

คำนวณจะได้

$S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i=\sum_{i=1}^{n}(\frac{3}{2}i^2-\frac{3}{2}i+1)$

$=\sum_{i=1}^{n}\frac{3}{2}i^2-\sum_{i=1}^{n}\frac{3}{2}i+\sum_{i=1}^{n}1$

$=\frac{3}{2}\sum_{i=1}^{n}i^2-\frac{3}{2}\sum_{i=1}^{n}i+n$

$=\frac{3}{2}\frac{n}{6}(n+1)(2n+1)-\frac{3}{2}\frac{n}{2}(n+1)+n$

$=\frac{n}{4}(n+1)(2n+1)-\frac{3n}{4}(n+1)+n$

นั่นคือเราจะได้ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมดังกล่าวไว้ใช้งานต่อไปครับ

ขอจบเท่านี้ครับ

Related

One Comment

Leave a ReplyCancel reply

%d