เฉลยข้อสอบ โควตา มข.ปี54 คณิตศาสตร์สายวิทย์ (ข้อ26 เรื่องทฤษฎีบททวินาม)

Untitled

พิจารณาสูตรการกระจาย $$(a+b)^n$$

นักเรียนต้องจำให้ได้ว่า พจน์ที่ $$r+1$$ เขียนแทนด้วย $$T_{r+1}={n \choose r}a^{n-r}b^r$$

อาจจำง่ายๆว่า พจน์ที่ $$r+1$$ คือ n เลือก r แล้ว a ยกกำลัง “บน-ล่าง” คูณ b ยกกำลัง “ล่าง”

เรามาพิจารณา สัมประสิทธิ์ของ $$x$$ นั่นคือค่าคงที่อยู่หน้าหรือหลังตัวแปร $$x$$ นั่นเอง
จากการพิจารณา $$T_{r+1}={c+d \choose r}x^{c+d-r}1^{r}={c+d\choose r}x^{c+d-r}$$

จากโจทย์ ส.ป.ส. ของ $$x^2$$ คือ $$21$$ ดังนั้น

$${c+d \choose r}=21$$——-(1) และจากเลขชี้กำลังของ $$x$$ คือ $$2$$ ดังนั้น

$$c+d-r=2$$ หรือ $$c+d=2+r$$——–(2)

แทน (2) ใน (1) จะได้ $${2+r \choose r}=21$$ ดังนั้น $$\frac{(2+r)!}{r!2!}=\frac{(2+r)(1+r)}{2}=21$$ แก้สมการจะได้ $$r=5$$

แทน $$r=5$$ ใน (2) จะได้ $$c+d=7$$——–(3)

——————–พักไว้ก่อน———————

ทำนองเดียวกันกับ $$(x+1)^{c-d}$$ ส.ป.ส. ของ $$x$$ คือ $$3$$ ดังนั้น

$${c-d\choose k}=3$$——-(4) และจากเลขชี้กำลังของ $$x$$ คือ $$2$$ ดังนั้น

$$c-d-k=1$$ หรือ $$c-d=1+k$$——–(5)

แทน (5) ใน (4) จะได้ $${1+k \choose k}=3$$ ดังนั้น $$\frac{(1+k)!}{k!1!}=(1+k)=3$$ แก้สมการจะได้ $$k=2$$

แทน $$k=2$$ ใน (5) จะได้$$c-d=3$$———–(6)

แก้ระบบสมการ (3) และ (5) จะได้ $$c=5$$ และ $$d=2$$

แทนในโจทย์จะได้ $$c+2d=9$$ ตอบตัวเลือกที่ 3

Share

Leave a Reply