แคลคูลัส EP02 : ลิมิตของฟังก์ชัน [มีคลิป]

บทความผมจะอธิบายการ หาค่าลิมิตของฟังก์ชัน กันก่อนครับ โดยมีคลิปอธิบายด้านล่าง นะครับ ถ้าอ่านไม่เข้าใจก็สามารถดูคลิปประกอบได้ครับ ผมคิดว่าเราควรเข้าใจไอเดียพื้นฐานที่สำคัญเหล่านี้ครับ

ก่อนอื่นผมอยากให้เข้าใจความหมายของการหาค่าฟังก์ชันกันก่อนนะครับ

เมื่อกำหนดฟังก์ชันอะไรก็ได้สักฟังก์ชัน ใครไม่เข้าใจว่าฟังก์ชันคืออะไร อาจไปทบทวนเนื้อหา ม.4 หรือถ้าไม่มีเวลาก็สามารถละไว้ก่อนได้ครับให้เข้าใจว่า ฟังก์ชันมันก็คือสมการมีตัวแปร x และ y ผสมกันอยู่นะครับ

ผมเริ่มต้นที่ฟังก์ชันง่ายๆ เลยเป็นเส้นตรง ดังนี้ครับ

$$f(x)=x+1$$

ถ้าเราต้องการหาค่าของฟังก์ชัน ให้เราทำอย่างนี้ครับ

$$f(1)=1+1=2$$

ถ้าเราต้องการหา f(1) อ่านว่า เอฟของหนึ่ง ครับ ให้เราแทน 1 เข้าไปในตัวแปร x นั่นเองครับ ง่ายๆ นี่เอง

$$f(2)=2+1=3$$

สำหรับตัวนี้ก็ทำทำนองเดียวกันใช่ไหมละครับ

ผมคิดว่าเราพอจะเข้าใจได้ว่าการแทนค่าของฟังก์ชันเป็นอย่างไรแล้วนะคับ ต่อไปเรามาดูว่า ถ้าเราแทนค่าของฟังก์ชันแบบนี้ บนกราฟมันจะเห็นเป็นอย่างไร ลองมาดูกันเลยครับ

อธิบายเพิ่มเติมนะครับ ถ้าเราหา f(1) ให้เรามองค่า x ที่ 1 บนแกน x จากนั้นลากเส้นสีแดงไปชนกับกราฟ แล้วลากไปตั้งฉากกับแกน y เราจะได้ค่า f(1) = 2 นั่นเองครับ ทำนองเดียวกัน f(2)=3 ก็ทำทำนองเดียวกันครับ

เอาละครับ การแทนค่าฟังก์ชันก็ทำได้ง่ายๆ แบบนี้ครับ

ลากจากจุด x บนแกน X ไปยังกราฟ (ฟังก์ชัน) เมื่อชนกราฟแล้วให้ลากไปตั้งฉากแกน Y จะได้ค่าของฟังก์ชัน

เมื่อเราเข้าใจว่าการหาค่าของฟังก์ชันทำอย่างไรแล้ว เรามาดูกันว่า ลิมิตเราจะหาแบบไหนนะครับ

ลิมิตซ้ายเท่ากับลิมิตขวา เราจะสรุปลิมิตได้

พิจารณาฟังก์ชัน และ ค่าของฟังก์ชัน เมื่อ x ค่อยๆ เข้าใกล้ 2 ดังนี้

เมื่อผม ให้ค่า x มา 4 ค่า แล้วหาค่าของฟังก์ชันแต่ละค่าตามลงมาจะเห็นว่า ค่าของฟังก์ชันจะมีค่าใกล้ๆ 3 ใช่ไหมครับ

ในกรณีนี้ เราสามารถเขียนเป็นลิมิตแทนด้วยสัญลักษณ์ดังนี้

$$\lim_{x \to 2^{-} }x+1=3$$

เครื่องหมายลบ ที่อยู่บนเลข 2 นั้นมีความหมายมากครับ มันคือการเข้าทางด้านซ้าย ถ้าเราพิจารณาที่ค่า 2 เราจะเห็นว่าการเข้าทางด้านซ้าย คือ ค่าที่น้อยกว่า 2 เล็กน้อยนะครับ

ทำนองเดียวกัน เราสามารถหาค่าของฟังก์ชันที่เข้ามาทางขวา เครื่องหมายจะเป็นบวกนะครับ

$$\lim_{x \to 2^{+} }x+1=3$$

ในกรณีที่เราหาลิมิต x เข้าสู่ 2 ทางซ้ายได้ค่าเท่ากับลิมิต x เข้าสู่ 2 ทางขวา เราสามารถสรุปได้ว่า ลิมิต x เข้าสู่ 2 หาค่าได้ครับ เขียนเป็นสมการได้ดังนี้

$$ \lim_{x \to 2^{-} }x+1= \lim_{x \to 2^{+} }x+1=3$$

ดังนั้น

$$ \lim_{x \to 2 }x+1=3$$

ลิมิตทางซ้ายและทางขวาไม่เท่ากัน

คราวนี้เรามาลองดูตัวอย่างของลิมิตทางซ้ายและทางขวาที่ค่าไม่เท่ากันบ้างครับ พิจารณาเมื่อ x เข้าใกล้ 5 ทางซ้าย เขียนเป็นสัญลักษณ์ดังนี้

$$ \lim_{x \to 5^{-} }g(x)$$

และผมลองหาค่าฟังก์ชันที่ x=4025758 จะได้ค่าฟังก์ชัน 3.18136 ตามภาพครับ

แล้วผมก็ขยับค่า x เข้าไปใกล้ 5 อีกสักนิด เป็น x=4.69636 จะได้ค่าของฟังก์ชันเป็น 3.74369

และตอนนี้ผมขยับ x ไปใกล้ 5 ให้มากที่สุดเท่าที่จะทำได้ แต่ไม่ให้เกิน 5 นะครับ คุณเห็นอะไรไหม ว่าผมลากเส้นสีแดงไปยังแกน Y เพื่อบอกให้รู้ว่า เนี่ยแหละค่าของฟังก์ชันมันเข้าใกล้ค่านี้ละ 4.22283 ใช่ไหมครับ เราจึงเขียนเป็นลิมิตได้ดังนี้

$$ \lim_{x \to 5^{-} }g(x)=4.22283$$

เพื่อกระชับบทความมากยิ่งขึ้น คุณสามารถหาลิมิตเมื่อมันเข้าทางขวาในทำนองเดียวกันนี้นะครับ แต่สิ่งที่ได้ค่าของฟังก์ชันจะเท่ากับ 1.00002 จะเห็นว่าค่าของฟังก์ชันเข้าทางซ้าย มันไม่ได้เท่ากับลิมิตเข้าทางขวา เพราะทางขวามันได้ค่าดังนี้

$$ \lim_{x \to 5^{+} }g(x)=1.00002$$

กรณีเช่นนี้เขาเรียกว่า ลิมิตหาค่าไม่ได้ครับ เพราะทางขวาไม่เท่ากับทางซ้าย

คุณสามารถคลิกที่ลิงค์นี้เพื่อเลื่อนดูค่าต่างๆ ที่ผมอธิบายไว้ได้ครับ มันสร้างจากโปรแกรม Geogebra ซึ่งมันเจ๋งมากๆ เลยละตอนนี้ที่จะช่วยอธิบายคณิตศาสตร์ที่เป็นนามธรรมให้เห็นภาพได้มากยิ่งขึ้นครับ

คงจะพอเห็นภาพกันบ้างแล้วนะครับ สำหรับคลิปนี้ผมอัดแบบบ้านๆ เลยนะ คิดว่าเป็นคลิปแรก หัดใช้ ipad อัดด้วยเลยอาจจะไม่ค่อยสวยเท่าไรก็ลองดูครับ เผื่อจะช่วยให้เข้าใจได้มากยิ่งขึ้นครับ

ใส่ความเห็น