แคลคูลัส EP01 : ว่าด้วยการเกิดขึ้นของ “แคลคูลัส”

คุณสงสัยไหมว่า แคลคูลัส (Calculus) เกิดขึ้นได้อย่างไร ? ใครเป็นคนคิดคนแรก แล้วมันมีความสำคัญกับชีวิตเราอย่างไร บทความนี้จะมาคลี่คลายความสงสัยนี้ทั้งหมดครับ

เพราะทุกสิ่งล้วนเปลี่ยนแปลง ?

ในชีวิตประจำวันเรา หากจะว่าจะไปแล้วก็เกี่ยวข้องกับแคลคูลัสพอสมควรโดยที่เราไม่รู้ตัว เพียงแต่เราไม่ได้ใช้ประโยชน์จากมันการเปลี่ยนแปลงของสิ่งหนึ่ง เมื่อเทียบกับสิ่งหนึ่งที่เปลี่ยนแปลงไป” ถือว่าเป็น แคลคูลัส ในโลกนี้ทุกสิ่งล้วนแต่เปลี่ยนแปลงกันทั้งนั้น หากแต่ว่า มีสองสิ่งเปลี่ยนแปลงเมื่อเทียบกันได้ เช่น สิ่งนี้เปลี่ยนแปลงไปเท่านี้ ส่งผลทำให้อีกสิ่งเปลี่ยนแปลงไป หากเราพิจารณา ณ จุด แต่ละจุดของการเปลี่ยนแปลงได้ ก็จะทำให้เรารู้หลายๆ สิ่งหรือทำนายสิ่งต่างๆ ที่เกิดการเปลี่ยนแปลงนั้นได้

ยกตัวอย่าง เช่น ความเร็ว คือ การเปลี่ยนแปลงของระยะทาง เทียบกับ เวลา เมื่อเวลาเปลี่ยนไป จะทำให้ระยะทางเปลี่ยนแปลงด้วย เมื่อเราหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเทียบกันแล้ว เราจึงเรียกสิ่งนั้นว่า ความเร็ว

แล้วสิ่งไหนเปลี่ยนแปลงอีกบ้าง? บรรดานักวิทยาศาสตร์ นักเศรษฐศาสตร์ หรือนักการเงิน ล้วนอาศัยการเปลี่ยนแปลงกันทั้งนั้นครับ ไม่ว่าจะเป็นการเคลื่อนที่ของดวงดาว การไหลของน้ำ การถ่ายเทความร้อน การเปลี่ยนของราคาหุ้น ล้วนแต่สามารถเขียนด้วยแคลคูลัสทั้งนั้น

นอกจากจะใช้ประโยชน์ของการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวแล้วนั้น เรายังสามารถใช้แคลคูลัสในการทำนาย พยากรณ์ของบางสิ่งบางอย่าง หรือใช้จำลองสถานการณ์ตั้งแต่เล็กๆ ไปถึงใหญ่ๆ เพื่อดูผลอะไรบางอย่างได้ เช่น การออกแบบโรงเก็บระเบิดนิวเคลียร์ ว่าจะทนแรงระเบิดได้หรือไม่ ใช้การจำลองทางแคลคูลัสเข้ามาช่วย คงไม่มีใครสร้างโรงเก็บระเบิดแล้วทดลองระเบิดดูเล่นๆ กันใช่ไหมละครับ

ใครคิดแคลคูลัสขึ้นมา?

การเกิดของแคลคูลัส ก็น่าประหลาดอยู่อีกเช่นกัน เพราะเกิดจากคนสองคน อยู่คนละประเทศ แต่คิดได้ในเวลาไล่เลี่ยกัน ในช่วง ประมาณ คริสต์ศตวรรษที่ 17 ได้มีนักคณิตศาสตร์สองคน คนแรก คือ คนที่แอปเปิลตกใส่หัว นั่นเอง คงเดากันไม่ยากว่า เป็น ไอแซก นิวตัน ชาวอังกฤษครับ เขาได้คิดค้นแคลคูลัสขึ้น แต่เก็บงำความลับ (คล้าย ดา เอ็นโดฟิน) อยู่ในใจมาเกือบ 10 ปี ปล่อยให้นักคณิตศาสตร์ ชาวเยอรมัน ชื่อ ไลบ์นิซ ตีพิมพ์ผลงานและสัญลักษณ์ต่างๆ ที่เราใช้งานจนถึงปัจจุบันออกมาเสียก่อนครับ

ทำให้เกิดข้อพิพาทกันเกือบร้อยปี ต่อมาว่าใครเป็นเจ้าของกันแน่ เจ้า แคลคูลัสเนี่ย ก็เพราะว่ามันสำคัญและส่งผลกระทบต่อมวลมนุษยชาติมากนั่นเอง ทำให้เกิดการแก้งแย่งผลงานนี้ขึ้น สุดท้ายเขาก็ยกให้เป็นผลงานของทั้งสองอีกนั่นแหละครับ แต่ผมว่า นิวตัน ก็ดังเรื่องกฎแรงโน้มถ่วงแล้ว ก็แบ่งๆ ให้ ไลบ์นิซ ดังเรื่องนี้ก็น่าจะดีนะ แบ่งๆ กันดังอ่ะ (ความเห็นส่วนตัวนะ อิอิ)

ใช้ประโยชน์จากแคลคูลัสให้ดูหน่อย

เอาปัญหาแบบมัธยมต้น แบบง่ายๆ มาให้ดูก่อนนะครับ สถานการณ์คือ คุณมีเชือกยาว 100 เมตร ต้องการขึงเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยด้านๆ หนึ่งเป็นแม่น้ำ คุณจะขึงให้เชือก กว้าง ยาวเท่าไหร่เพื่อให้ได้พื้นที่มากที่สุด

เราจะสร้างฟังก์ชันของพื้นที่ในรูปของตัวแปร x กันก่อน

ผมจะให้ตัวแปร y แทนพื้นที่ หาได้จาก กว้างคูณยาว ดังนั้น y=(100-2x)*x นั่นคือ

$$y=(100-2x)\times x=100x-2x^2$$

พอมาถึงตรงนี้แล้วหลายคนคงนึกออกว่า เราสามารถใช้สมการกำลังสองเพื่อหาค่าสูงสุดของ y ได้อย่างง่ายดายใช่ไหมครับ แต่เราจะเลี่ยงวิธีนั้น เพื่อมาหาจากสูตรของแคลคูลัสกันดูครับ

อัตราการเปลี่ยนแปลง ของ y เทียบกับ x คือ \frac{dy}{dx}

เราจะใช้สูตรในการคำนวณ จากช่อง Derivative กันนะครับ

$$\frac{dy}{dx}=\frac{100x-2x^2}{dx}$$

$$\frac{dy}{dx}=100-4x$$

อัตราการเปลี่ยนแปลงดังกล่าว คือ ความชัน ณ จุดใดๆ ถ้าความชันเป็น 0 จะสามารถหาค่า x ที่จะทำให้ฟังก์ชันของ y ได้ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดครับ เราจึงได้

$$100-4x = 0$$

$$x=25$$

เพียงเท่านี้เราจะได้ค่า x ที่จะทำให้หาค่าสูงสุดของพื้นที่ได้อย่างง่ายดาย เมื่อได้ค่า x แล้วเราสามารถหาพื้นที่ได้เท่ากับ

$$y=100(25) -2(25^2)=1250$$

เราจึงได้รูปของพื้นที่จะล้อมเพื่อให้ได้ค่าพื้นที่มากที่สุดดังนี้

เห็นไหมครับว่า แคลคูลัสมันสามารถนำมาแก้ปัญหาเรื่องของค่ามากสุด น้อยสุดได้ดีเลยทีเดียว สำหรับ EP นี้ก็ขอจบเพียงเท่านี้ ติดตามได้กับ EP แคลคูลัสนะครับ

ใส่ความเห็น