ความแปรปรวนร่วม คือ อะไร

ก่อนจะหาค่าสหสัมพันธ์ของข้อมูลจำเป็นต้องเข้าใจสูตรความแปรปรวนร่วมก่อน ซึ่งสูตรของความแปรปรวนร่วม ถือว่ามีความใกล้เคียงกับสูตรความแปรปรวนข้อมูลมากๆ แต่เพียงมีคำว่าร่วม เพิ่มเข้ามา มันหมายถึงการทำอะไรบางอย่างของสองสิ่ง ทำให้เกิดเป็นคำว่าร่วม นั่นเองครับ ถ้าจะอธิบายให้ง่ายๆขึ้นก็คือ ความแปรปรวนปกติคือการที่เราพิจารณาข้อมูลเพียงตัวแปรเดียว แต่ถ้ามีตัวแปรสองตัว ก็จะพิจารณาความแปรปรวนเป็นความแปรปรวนร่วมนั่นเอง งงมั้ย? ถ้างงๆ ก็ลองมาพิจารณาจากสูตรเพื่อเปรียบเทียบกันครับ

สูตรของความแปรปรวนของตัวอย่างคือ

$s^2=\frac{\sum(X-\overline{X})^2}{n-1}$

เมื่อ

$S^2$ คือ ความแปรปรวนของตัวอย่าง
$X$ คือ ข้อมูลจากตัวอย่างแต่ละตัว
$\bar{X}$ คือ ค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง
$n$ คือ จำนวนของตัวอย่าง

และเรามาดูสูตรของความแปรปรวนร่วมกันครับ

$cov(X,Y)=\frac{\sum(X-\overline{X})(Y-\overline{Y})}{n-1}$

เมื่อ

$cov(X,Y)$ คือ ค่าความแปรปรวนของตัวแปร X และ Y
X คือ ค่าข้อมูลของตัวแปร X
Y คือ ค่าข้อมูลของตัวแปร Y
$n$ คือ จำนวนของตัวอย่าง (ผลรวมจำนวนตัวแปร X และ Y)

สิ่งที่น่าสนใจคือ

ถ้าค่า $X$ น้อยว่าค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง $\overline{X}$ มันจะทำให้ $(X-\overline{X})$ ได้ค่าเป็นลบ (-)
ถ้า $X$ มากว่าค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง $\overline{X}$ มันจะทำให้ $(X-\overline{X})$ ได้ค่าเป็นบวก (+)

เมื่อนำสองค่ามาคูณกัน จะเกิดผลลัพธ์จาก 3 กรณี คือ

– กับ – คูณกันได้ +
– กับ + คูณกันได้ –
+ กับ + คูณกันได้ +

เมื่อนำผลคูณที่ได้มารวมกันจะได้ผลลัพธ์ออกมาเป็นค่าค่าหนึ่ง ถ้ามีแต่บวกรวมกัน ก็จะได้ค่าบวกมากขึ้นเรื่อยๆ หมายความว่าความแปรปรวนร่วมจะได้ค่าเป็นบวก แต่ถ้ามีค่าลบมารวมกันเยอะก็ได้ค่าความแปรปรวนร่วมเป็นลบเช่นกัน

มาดูตัวอย่างการคำนวณกันดีกว่าครับ

สมมติเรามีคะแนนจากการทดสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่ง จำนวน 30 คน ทดสอบสองวิชาคือ คณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ โดยมีสมมติฐานว่า นักเรียนที่เก่งคณิตศาสตร์ น่าจะเก่งวิทยาศาสตร์ด้วย โดยมีไฟล์ตัวอย่างดาวน์โหลดไปทำตามดูได้ครับ

ไฟล์ตัวอย่างคำนวนความแปรปรวนร่วม ดาวน์โหลด

เมื่อลองนำค่าตัวแปรของทั้งสองมาพล็อตกราฟ (Scatter plot) จะได้ดังภาพ

จากนั้นเราจะหาค่า เฉลี่ย ( $\overline{X}$ ) และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( $s$ ) แล้วนำมาหาผลต่างของค่าคะแนนกับค่าเฉลี่ยของแต่ละกลุ่ม จากนั้นก็นำมาคูณกันดังนี้

นำมาหาค่า $cov(X,Y)=\frac{\sum(X-\overline{X})(Y-\overline{Y})}{n-1}=109.93$

โดยที่เราได้ค่าความแปรปรวนร่วมออกมาเป็นบวก แสดงว่า ถ้าคะแนนคณิตศาสตร์มาก คะแนนวิทยาศาสตร์จะมากตามไปด้วย และถ้าคะแนนคณิตศาสตร์น้อยคณิตวิทยาศาสตร์จะน้อยตามไปด้วย แต่ความแปรปรวนร่วมนั้นไม่ใช่ค่ามาตรฐาน ทำให้ตีความนำไปเปรียบเทียบกันยังไม่ได้ ซึ่งมีวิธีการแปลงเป็นค่าสหสัมพันธ์กันต่อไป

แหล่งอ้างอิง

พงศ์มนัส บุศยประทีป. (2559). สถิติง่ายๆ ใช้ได้ทุกงาน. นนทบุรี: ธิงค์ บียอนด์ บุ๊คส์

Sebastian Taylor. (2023). Covariance A measure of the relationship between random variables. Retrieved 29 April 2023, from https://corporatefinanceinstitute.com/resources/data-science/covariance/.

Discover more from KruJakkrapong 's Blog

Subscribe to get the latest posts sent to your email.

ความแปรปรวนร่วม คือ อะไร

Like this:

Related

Discover more from KruJakkrapong 's Blog

Leave a ReplyCancel reply