จำ "ซัมเมชัน" ตัวไหนก่อน มันเยอะเหลือเกิน!

ซัมเมชัน คือ อะไร สำคัญอย่างไร

ผมเคยเขียนไว้ตั้งแต่ EP01 แล้วว่า เครื่องหมาย ซัมเมชัน มันคืออะไร เอาเป็นว่า เครื่องหมายนี้มันเขียนไว้เพื่อแทนสัญลักษณ์การบวกกันของจำนวน ซึ่งต้องมีเริ่ม และสิ้นสุด เช่น การบวกกันของ 1+2+3+4+5+6 หมายความว่า เริ่มบวกที่ 1 และสิ้นสุดที่ 6

การบวกกันเช่นนี้ สามารถเขียนในรูปของซัมเมชัน หรือบางคนก็เรียกกันติดปากว่า ซิกม่า นั่นเอง โดยมีสัญลักษณ์ แทนจำนวนเหล่านี้ในรูปของฟังก์ชัน (ถ้าไม่เข้าใจว่าฟังก์ชันคืออะไรก็ให้เข้าใจง่ายๆ ว่ามันคือตัวแปรอะไรซักอย่างก็แล้วกันครับ)

โดยทั่วไปตัวแปรเราจะใช้ i, j หรือ k แทนก็ได้ไม่มีผิด แต่การแข่งขันในงานศิลปหัตถกรรมนักเรียน ในกิจกรรมคิดเลขเร็วสำหรับ ม.ต้น และปลาย นั้นให้ใช้ i ได้ โดยที่หลังซัมเมชันต้องมี i ได้ไม่เกิน 2 ตัว

นอกจาก i โดดๆ แล้ว เราจึงเอา i มาประยุกต์เพื่อให้ได้ 2 ตัว ได้หลายแบบ เช่น i+i, ixi, i/i, i^i เป็นต้น เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันออกไป

[mathjax] ยกตัวอย่างเช่น i+i เช่น

$\sum_{i=1}^{5}i+i$

มันคือการแทนสัญลักษณ์การบวกกันของเลขเหล่านี้

(1+1) + (2+2) + (3+3) + (4+4) + (5+5) จะได้คำตอบเท่ากับ 30 เมื่อเราสุ่มเลขออกมาเพื่อแข่งขันคิดเลขเร็ว นักเรียนสามารถทำค่าตัวเลข 30 ได้จากเลข 1 และ 5 ได้โดยการเขียนสัญลักษณ์ซัมเมชันดังกล่าว ส่วนจะเอา 30 ไปทำอะไรอย่างอื่น ก็ได้แล้วแต่ เช่น อาจจะเอาไปบวก ลบ คูณ หรือ หาร หรือแม้กระทั่งใส่ใน ซัมเมชันอีกครั้ง กับตัวเลขอื่นๆ เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ตามต้องการการได้ แต่การได้มาของ 30 ในครั้งนี้เราใช้เลขเพียง 2 ตัว คือ 1 และ 5

เมื่อเป็นเช่นนี้แล้ว 1 กับ 5 ก็ยังสามารถสร้างเลขตัวอื่นๆ ที่เกิดจากเครื่องหมายซัมเมชันนี้ได้ อีกมากมาย

ผมจะขอยกตัวอย่าง จากไฟล์ 100 summations Calculator ดังภาพ 1 กับ 5 สามารถคำนวณค่าต่างๆ ได้แตกต่างกันถึง 9 ค่า ดังนี้

นั่นก็หมายความว่า เพียงแค่ 1 กับ 5 นั้นเราสามารถสร้างผลลัพธ์ได้แตกต่างกันถึง 9 ตัว เลือกเอาว่าจะเอาตัวไหน เพื่อนำไปใช้ประโยชน์กับตัวเลขอื่นๆ ได้

เราจะเห็นว่า summation เกิดขึ้นจากตัวเลข 2 ตัวนั้นมีมากมาย ปัญหาคือ

เราจะจำ ซัมเมชัน ของตัวไหนก่อนดี และเราจะจำมันได้อย่างไร ?

เป็นปัญหาสำหรับเด็กๆ หรือครูฝึกที่ต้องการจดจำ จึงเกิดขึ้น จากประสบการณ์การสอนคิดเลขเร็วของนักเรียนมานั้น ยากมากที่จะจดจำได้ และหากจดจำได้ นักเรียนบางคนจะจดจำสับสนกัน และดึงออกมาใช้ในสถานการณ์ต่างๆ ไม่ได้ เพราะเวลาเป็นตัวกำหนดว่า ให้นักเรียนคิดไม่เกิน 30 วินาที

ผมอยากจะแนะนำอย่างนี้ครับ ให้เราจดจำเป็นเซตๆ ไปครับ จำทีละเซตหลังจากจำได้เซตแรก ให้ซ้อมนักเรียนคิดและจำเป็นต้องเอาซัมเหล่านั้นมาใช้เป็นค่าเริ่มต้น หมายความว่า เมื่อสุมโจทย์แล้ว ให้นักเรียนคิดหาซัมเมชันที่จำมาใช้ให้ได้ครับ แม้ว่าจะคิดได้ด้วยวิธีอื่น แต่ขอย้ำว่า ให้เราคิดแบบเริ่มจากซัมเมชันที่เรากำหนดให้ได้

ไม่จำเป็นต้องทำให้ทัน 30 วินาทีนะครับ ให้เราค่อยๆ ซ้อม และคิดกับนักเรียนไปเรื่อยๆ จนกระทั่งนักเรียนคุ้นเคยกับซัมเมชันตัวนั้นได้ดีแล้ว ค่อยเลื่อนไปจำซัมเมชันตัวอื่นๆ

เอาละ คราวนี้เรามาเริ่มกันที่

ซัมเมชันที่ควรจำ เซตที่ 1

จากภาพ เราจะเริ่มจดจำ $\sum_{i=1}^{4}i=10$ ไปเรื่อยๆ จนกระทั่ง ถึง $\sum_{i=1}^{12}i=78$

เหตุที่จดจำให้เริ่มซัมเมชันจาก 1 เพราะเป็นตัวที่จดจำได้ง่ายที่สุดและเป็นเลขที่ใช้บ่อยมากๆ

ซัมเมชันที่ควรจำ เซตที่ 2

เซตที่ 2 นี่อาจจะหลายตัวหน่อย แต่รับรองว่า ถ้าหากจดจำได้ จะช่วยคำนวณผลลัพธ์ของเลข 2 หลักได้ครอบคลุมเลย มี 12 ตัว ตามที่ผมทำแถบสีเหลืองครอบไว้

เวลาจำ แนะนำว่าจำ เป็นคอลัมภ์ไล่กันลงมาเป็นชุดๆ เช่น ซัมเมชัน 1 ถึง 4 ixi เท่ากับ 30 ซัมเมชัน 2 ถึง 4 ixi เท่ากับ 29 และ ซัมเมชัน 3 ถึง 4 ixi เท่ากับ 25

เมื่อจดจำครบ 2 เซตนี้แล้ว ให้ลองทำโจทย์ดูเรื่อยๆ คือ สุ่มเลขมา 4 ตัว ให้ได้ผลลัพธ์ 2 หลัก โดยให้พยายามเริ่มผลลัพธ์ด้วย ซัมเมชันที่ใกล้เคียงที่สุด เช่น สุ่มผลลัพธ์ได้ 62 ควรเลือกหรือคิดหา ซัมเมชัน จากเลข 5 และ 6 โดยแนะนำว่า เลขที่สุ่มได้หากมี 1 หรือ 0 ให้เก็บเลขนี้ไว้ก่อนเพื่อนำไปบวกกับ 61 จะได้ผลลัพธ์ เป็น 62 ตามต้องการ เช่น สุ่มได้

2 , 5 , 4 , 1 = 62

เมื่อเห็นดังภาพแล้วก็ค่อยเขียน เครื่องหมายซัมเมชัน ดังนี้

$\sum_{i=5}^{2+4}(i\times i)+1=62$

ทดลองทำอย่างนี้ไปเรื่อยๆ จนกระทั่งรู้สึกคุ้นชินกับ ซัมเมชันให้มากที่สุดในเซตที่กำหนดให้ครับ ตอนนี้เราจะเริ่มคุ้นเคย่แล้ว และจะจดจำมันได้อัตโนมัติแล้ว

ซัมเมชันที่ควรจำ เซตที่ 3

ต่อไปเซตอีกเซตที่ต่อเนื่องมาจากเซตที่ 1 ครับ เพราะเป็นซัมเมชัน i+i ถ้ามองให้ดีจะเป็นสองเท่าของ i ครับ

เซตนี้ผมจะให้จำเริ่มต้นที่ 2 ไปด้วยเลยนะครับ เวลาจดจำตัวที่เริ่มต้นที่ 1 ก็ง่ายมาก โดยการท่องแม่สูตรคูณที่เราคุ้นเคย แล้วคูณกับค่าที่มากกว่าค่านั้นอยู่ 1 เช่น

$\sum_{i=1}^{4}i+i=20$