Written by [mathjax]
ผมสอนนักเรียนชั้น ม.6 ครับ เรื่อง ลำดับและอนุกรมครับ วันนี้ก็เลยมีโอกาสสอนลำดับหนึ่งซึ่งตอนไปฝึกสอนที่โรงเรียนสาธิตมหาวิทยาลัยขอนแก่น
เรื่อง ลำดับเลขคณิตสองชั้นครับ
จากปกติเรารู้ว่า ลำดับเลขคณิต ง่ายๆ เช่น 1, 3, 5, 7,… ลำดับมีผลต่างร่วม คือ มันต่างกันทีละ 2 จาก 1 ไป 3 จาก 3 ไป 5 และจาก 5 ไป 7 จะมีผลต่างร่วมเป็น 2 ทุกๆ พจน์ไป เป็นเช่นนี้เรื่อยๆ
อย่างนี้เรียกว่า ลำดับเลขคณิต “ธรรมดา”
ลำดับเลขคณิตที่ผมจะอธิบายวันนี้ คือ มันเป็นสองชั้นครับ
ดูลำดับนี้
1, 4, 10, 19, …
ถ้านำ 4-1=3 10-4=6 19-10=9
จะเห็นว่า มันเพิ่มขึ้น เป็น 3, 6, 9,…
นั่นคือ ผลต่างของมันจะเรียงเป็นลำดับเลขคณิต คือ 3, 6, 9,…
คือมันเป็นลำดับแบบสองชั้นครับ
การหาพจน์ทั่วไปของลำดับสองชั้นนั้น มันจะอยู่ในรูป 
เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริง
เราจะมาหาว่า a, b, c นี่มันคืออะไรกันแน่ โดยการใช้พจน์สามพจน์แรกครับ
แทนค่า 
จะได้ดังนี้
![\[1=a+b+c\]](https://krujakkrapong.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-16b58e9939580c3c9962e10083529af2_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
…(1)
![\[4=4a+2b+c\]](https://krujakkrapong.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-677ccf3da82740a3a84508c94eebe414_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
…(2)
![\[10=9a+3b+c\]](https://krujakkrapong.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0837a9046e32404e006d476536ba1bff_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
…(3)
มาแก้สมการกันครับ
เริ่มจากการกำจัดตัวแปร c โดยนำ (2)-(1)
![\[3=3a+b\]](https://krujakkrapong.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d8ab5885f743c9766a9319937988d36f_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
…(4)
ต่อไป นำ (3)-(2)
![\[6=5a+b\]](https://krujakkrapong.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2fd17089ae6cdb2986050231d72181df_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
…(5)
จากสองสมการ (4) และ (5) เราจะมาแก้สมการหา b กันครับ นำ (5)-(4) จะได้
![\[3=2a\]](https://krujakkrapong.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e507e917b34758add7e12803f95fb048_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
ดังนั้น
![\[a=\frac{3}{2}\]](https://krujakkrapong.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0e3b541a2968adafa77a01531a280545_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
เมื่อได้ a แล้ว นำ a ไปแทนใน (4) จะได้
![\[3=3\frac{3}{2}+b\]](https://krujakkrapong.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-62729a9156e6c561aff24631dd506f8f_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
ย้ายข้างหาค่า b จะได้
![\[b=-\frac{3}{2}\]](https://krujakkrapong.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0dab7837a0bbcda0837c1adcdeff9e5a_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
แทน a, b ใน (1) จะได้
![\[1=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}+c\]](https://krujakkrapong.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7f0b233ab0f3e5e2951b2588c4306558_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
แก้สมการจะได้
![\[c=1\]](https://krujakkrapong.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-738747793544852ac5b59b6ddd63fbe0_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
ดังนั้นเราจะได้ a, b, c แล้วนำมาใส่ในสมการทั่วไป ได้ดังนี้
![\[a_n=\frac{3}{2}n^2-\frac{3}{2}n+1\]](https://krujakkrapong.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1100c60ebde1f3531bf3543e179845fb_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
แค่นี้เราก็จได้พจน์ทั่วไปแล้วครับ
ต่อเนื่องไปยังผลบวก n พจน์แรกเลยนะ
เนื่องจาก เรารู้ว่า
![\[S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n=\sum_{i=1}^{n}a_i\]](https://krujakkrapong.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-42b23de1549552f72f1afacd6672a67b_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
เราจะมาหาผลบวก n พจน์แรก โดยการใส่ซัมเมชั่นเข้าไปใน 
จะได้
![\[S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i\]](https://krujakkrapong.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-98749a63116b3a0e989e2e4f96292b41_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
คำนวณจะได้
![\[S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i=\sum_{i=1}^{n}(\frac{3}{2}i^2-\frac{3}{2}i+1)\]](https://krujakkrapong.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cd77d63de9e6fa4f143618340aad282e_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[=\sum_{i=1}^{n}\frac{3}{2}i^2-\sum_{i=1}^{n}\frac{3}{2}i+\sum_{i=1}^{n}1\]](https://krujakkrapong.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-12d09446f403fab9663d643314d8ee55_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[=\frac{3}{2}\sum_{i=1}^{n}i^2-\frac{3}{2}\sum_{i=1}^{n}i+n\]](https://krujakkrapong.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6c401a742e78433e4680ada9efbd7a86_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[=\frac{3}{2}\frac{n}{6}(n+1)(2n+1)-\frac{3}{2}\frac{n}{2}(n+1)+n\]](https://krujakkrapong.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-84ca340f975442fa23994766925a104a_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[=\frac{n}{4}(n+1)(2n+1)-\frac{3n}{4}(n+1)+n\]](https://krujakkrapong.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4b8aec562dae0d0d9c5edaf2fe786274_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
นั่นคือเราจะได้ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมดังกล่าวไว้ใช้งานต่อไปครับ
ขอจบเท่านี้ครับ
Discover more from KruJakkrapong 's Blog
Subscribe to get the latest posts sent to your email.
ดีเลยค่ะ ได้ความรู้เพิ่มเติม เพราะดิฉันเรียนศิลป์มา ขอบคุณมาก