โจทย์อนุกรม
Mathematics My Classoom O-Net PAT-1

EP.13 แก้โจทย์อนุกรมระดับประถม แต่ใช้ความรู้มัธยม

Written by on

    \[\frac{1}{7}+\frac{1}{91}+\frac{1}{127}+\frac{1}{475}+\frac{1}{775}+\frac{1}{1147}\]

วิธีการหาค่าของนิพจน์

ขั้นตอนที่ 1: วิเคราะห์รูปแบบของตัวส่วน

สังเกตว่าตัวเลขในส่วนของเศษส่วนมีรูปแบบ:

  • 7 = 1 × 7
  • 91 = 7 × 13
  • 247 = 13 × 19
  • 475 = 19 × 25
  • 775 = 25 × 31
  • 1147 = 31 × 37

รูปแบบคือ n(n+6) โดยที่ n = 1, 7, 13, 19, 25, 31

ขั้นตอนที่ 2: ใช้เทคนิค Partial Fractions

สำหรับเศษส่วนที่มีรูป 1/[n(n+6)] สามารถแยกได้เป็น:

    \[\frac{1}{n(n+6)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+6}\]

แก้หา A และ B:

  • 1 = A(n+6) + Bn
  • เมื่อ n = 0: 1 = 6A → A = 1/6
  • เมื่อ n = -6: 1 = -6B → B = -1/6

ดังนั้น:

    \[\frac{1}{n(n+6)} = \frac{1}{6}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+6}\right)\]

ขั้นตอนที่ 3: แยกเศษส่วนแต่ละตัว

  •     \[\frac{1}{7} = \frac{1}{6}\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{7}\right)\]

  •     \[\frac{1}{91} = \frac{1}{6}\left(\frac{1}{7} - \frac{1}{13}\right)\]

  •     \[\frac{1}{247} = \frac{1}{6}\left(\frac{1}{13} - \frac{1}{19}\right)\]

  •     \[\frac{1}{475} = \frac{1}{6}\left(\frac{1}{19} - \frac{1}{25}\right)\]

  •     \[\frac{1}{775} = \frac{1}{6}\left(\frac{1}{25} - \frac{1}{31}\right)\]

  •     \[\frac{1}{1147} = \frac{1}{6}\left(\frac{1}{31} - \frac{1}{37}\right)\]

ขั้นตอนที่ 4: รวมทั้งหมด (Telescoping Series)

เมื่อรวมทั้งหมด:

    \[\frac{1}{6}\left[\left(1 - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{13} - \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{1}{19} - \frac{1}{25}\right) + \left(\frac{1}{25} - \frac{1}{31}\right) + \left(\frac{1}{31} - \frac{1}{37}\right)\right]\]

เทอมส่วนใหญ่จะหักล้างกัน เหลือเพียง:

    \[\frac{1}{6}\left(1 - \frac{1}{37}\right) = \frac{1}{6} \times \frac{36}{37} = \frac{36}{222} = \frac{6}{37}\]

คำตอบ: 6/37

Discover more from KruJakkrapong 's Blog

Subscribe to get the latest posts sent to your email.

Leave a Reply