พิสูจน์ทฤษฏีบทของอนุกรมอนันต์
Mathematics My Classoom PAT-1

EP.15 พิสูจน์ทฤษฎีบทที่ใช้ตรวจสอบอนุกรมอนันต์

Written by on

ทฤษฎีบท (Test for Divergence):
ถ้า \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 แล้ว \sum_{n=1}^{\infty} a_n ลู่ออก

การพิสูจน์:

เราจะใช้วิธี proof by contrapositive โดยพิสูจน์ว่า:
“ถ้า \sum_{n=1}^{\infty} a_n ลู่เข้า แล้ว \lim_{n \to \infty} a_n = 0”

ขั้นตอนการพิสูจน์:

ขั้นที่ 1: สมมติว่า \sum_{n=1}^{\infty} a_n ลู่เข้า

กำหนดให้ S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k เป็นผลบวกย่อยที่ n

เนื่องจากอนุกรมลู่เข้า จึงมี \lim_{n \to \infty} S_n = S (ค่าจำกัดมีอยู่จริง)

ขั้นที่ 2: พิจารณา a_n

สังเกตว่า: a_n = S_n - S_{n-1} สำหรับ n \geq 2

ขั้นที่ 3: หาลิมิตของ a_n

    \[\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (S_n - S_{n-1})\]

    \[= \lim_{n \to \infty} S_n - \lim_{n \to \infty} S_{n-1}\]

    \[= S - S = 0\]

ขั้นที่ 4: สรุป

เราได้พิสูจน์แล้วว่า: ถ้า \sum_{n=1}^{\infty} a_n ลู่เข้า แล้ว \lim_{n \to \infty} a_n = 0

โดย contrapositive เราได้:
ถ้า \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 แล้ว \sum_{n=1}^{\infty} a_n ลู่ออก ∎

ตัวอย่างประยุกต์:

  • \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1} ลู่ออก เพราะ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1 \neq 0
  • \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n ลู่ออก เพราะ \lim_{n \to \infty} (-1)^n ไม่มีอยู่ (≠ 0)

หมายเหตุสำคัญ: ทฤษฎีบทนี้เป็นเพียง “necessary condition” ไม่ใช่ “sufficient condition” กล่าวคือ ถ้า \lim_{n \to \infty} a_n = 0 ไม่ได้รับประกันว่าอนุกรมจะลู่เข้า (เช่น harmonic series)

Discover more from KruJakkrapong 's Blog

Subscribe to get the latest posts sent to your email.

Leave a Reply