PAT-1 Mathematics O-Net

EP.2 แก้โจทย์ลิมิตของลำดับ

Written by จักรพงษ์ แผ่นทอง on พฤษภาคม 31, 2025

กำหนดให้ $a_n = \frac{3^n - k^n}{k^{n-1} + 2^n}$ เมื่อ $k$ เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ $\lim_{n \to \infty} a_n = -7$
จงหา

$\lim_{n \to \infty} \frac{k^{n+1}-4^n}{5^{n-1}+k^n}$

ลองกรณี $k = -2$ :

เมื่อ $k = -2$ :

$a_n = \frac{3^n - (-2)^n}{(-2)^{n-1} + 2^n}$

เมื่อ $n$ เป็นเลขคู่: $(-2)^n = 2^n$ และ $(-2)^{n-1} = -2^{n-1}$

$a_n = \frac{3^n - 2^n}{-2^{n-1} + 2^n} = \frac{3^n - 2^n}{2^{n-1}(-1 + 2)} = \frac{3^n - 2^n}{2^{n-1}}$

หารด้วย $2^{n-1}$ :

$a_n = \frac{3^n}{2^{n-1}} - \frac{2^n}{2^{n-1}} = 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^n - 2$

เมื่อ $n \to \infty$ : $a_n \to +\infty$

ลอง $k = 7$ :

หารทั้งเศษและส่วนด้วย $7^n$ :

$\lim_{n \to \infty} \frac{3^n - 7^n}{7^{n-1} + 2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{3}{7}\right)^n - 1}{\frac{1}{7} + \left(\frac{2}{7}\right)^n}$

เมื่อ $n \to \infty$ :

$= \frac{0 - 1}{\frac{1}{7} + 0} = \frac{-1}{\frac{1}{7}} = -7$

ใช่แล้วครับ! $k = 7$ ทำให้ $\lim_{n \to \infty} a_n = -7$

เมื่อ $k = 7$ แล้ว ให้หาค่าของ $\lim_{n \to \infty} \frac{k^{n+1} - 4^n}{5^{n-1} + k^n}$

แทนค่า $k = 7$ :

$\lim_{n \to \infty} \frac{7^{n+1} - 4^n}{5^{n-1} + 7^n}$

เนื่องจาก $k = 7 > 5$

หารทั้งเศษและส่วนด้วย $7^n$ :

$\lim_{n \to \infty} \frac{7^{n+1} - 4^n}{5^{n-1} + 7^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{7 \cdot 7^n - 4^n}{5^{n-1} + 7^n}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{7 - \left(\frac{4}{7}\right)^n}{\frac{5^{n-1}}{7^n} + 1}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{7 - \left(\frac{4}{7}\right)^n}{\frac{5^{n-1}}{7^n} + 1}$

เมื่อ $n \to \infty$ :

$\left(\frac{4}{7}\right)^n \to 0$
$\frac{5^{n-1}}{7^n} = \frac{1}{5} \cdot \left(\frac{5}{7}\right)^n \to 0$

ดังนั้น:

$\lim_{n \to \infty} \frac{7^{n+1} - 4^n}{5^{n-1} + 7^n} = \frac{7 - 0}{0 + 1} = 7$

คำตอบ: $\lim_{n \to \infty} \frac{k^{n+1} - 4^n}{5^{n-1} + k^n} = 7$ เมื่อ $k = 7$

Related

Discover more from KruJakkrapong 's Blog

Subscribe to get the latest posts sent to your email.

Leave a ReplyCancel reply