Mathematics O-Net PAT-1

EP.6 แก้โจทย์ลิมิตของลำดับ

Written by จักรพงษ์ แผ่นทอง on พฤษภาคม 31, 2025

กำหนด: $a_n$ เป็นลำดับเลขคณิตที่ $\lim_{n \to \infty}\left(\frac{a_{n+1}^2 - a_n^2}{n}\right) = 4$

ต้องการหา: $(a_5a_7 + a_6a_5) - (a_5a_6 + a_7a_5)$

วิธีแก้:

ขั้นตอนที่ 1: เนื่องจาก $a_n$ เป็นลำดับเลขคณิต

$a_n = a_1 + (n-1)d$

โดย $d$ เป็นผลต่างร่วม

ขั้นตอนที่ 2: หา $a_{n+1}^2 - a_n^2$

$a_{n+1} = a_1 + nd$

$a_{n+1}^2 - a_n^2 = [a_1 + nd]^2 - [a_1 + (n-1)d]^2$

ขยายและจัดรูป:

$= (a_1 + nd)^2 - (a_1 + (n-1)d)^2$

$= (a_1 + nd + a_1 + (n-1)d)(a_1 + nd - a_1 - (n-1)d)$

$= (2a_1 + (2n-1)d)(d)$

$= d(2a_1 + (2n-1)d)$

$= 2a_1d + d^2(2n-1)$

ขั้นตอนที่ 3: หาลิมิต

$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}^2 - a_n^2}{n} = \lim_{n \to \infty}\frac{2a_1d + d^2(2n-1)}{n}$

$= \lim_{n \to \infty}\left(\frac{2a_1d}{n} + \frac{d^2(2n-1)}{n}\right)$

$= 0 + \lim_{n \to \infty}d^2\left(2 - \frac{1}{n}\right) = 2d^2$

จากเงื่อนไข: $2d^2 = 4$

$d^2 = 2$

$d = \pm\sqrt{2}$

ขั้นตอนที่ 4: หาค่าที่ต้องการ จัดรูปนิพจน์:

$(a_5a_7 + a_6a_5) - (a_5a_6 + a_7a_5)$

$= a_5a_7 + a_6a_5 - a_5a_6 - a_7a_5$

$= a_5(a_7 - a_6) + a_5(a_6 - a_7)$

$= a_5(a_7 - a_6) - a_5(a_7 - a_6)$

$= 0$

คำตอบ: $(a_5a_7 + a_6a_5) - (a_5a_6 + a_7a_5) = 0$

หมายเหตุ: ผลลัพธ์นี้ไม่ขึ้นอยู่กับค่าของ $d$ เนื่องจากการจัดรูปพีชคณิตทำให้นิพจน์หักล้างกันหมด

Related

Discover more from KruJakkrapong 's Blog

Subscribe to get the latest posts sent to your email.

Leave a ReplyCancel reply