Mathematics O-Net PAT-1

EP.7 แก้โจทย์ลิมิตของลำดับ

Written by on

กำหนด: ให้ k เป็นค่าคงที่ และถ้า

    \[\lim_{n \to \infty} \frac{k(n^5 + n) + 3n^4 + 2}{(n + 2)^5} = \lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n^2 + 3n + 1} - n\right)\]

ต้องการหา: ค่า k

วิธีแก้:

ขั้นตอนที่ 1: หาลิมิตด้านซ้าย

    \[\lim_{n \to \infty} \frac{k(n^5 + n) + 3n^4 + 2}{(n + 2)^5}\]

ขยาย (n + 2)^5 โดยพจน์หลักคือ n^5:

    \[(n + 2)^5 = n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n + 1\]

หารทั้งเศษและส่วนด้วย n^5:

    \[= \lim_{n \to \infty} \frac{k\left(1 + \frac{1}{n^4}\right) + \frac{3}{n} + \frac{2}{n^5}}{1 + \frac{5}{n} + \frac{10}{n^2} + \frac{10}{n^3} + \frac{5}{n^4} + \frac{1}{n^5}}\]

    \[= \frac{k + 0 + 0}{1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0} = k\]

ขั้นตอนที่ 2: หาลิมิตด้านขวา

    \[\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n^2 + 3n + 1} - n\right)\]

คูณและหารด้วย \sqrt{n^2 + 3n + 1} + n:

    \[= \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2 + 3n + 1} - n)(\sqrt{n^2 + 3n + 1} + n)}{\sqrt{n^2 + 3n + 1} + n}\]

    \[= \lim_{n \to \infty} \frac{(n^2 + 3n + 1) - n^2}{\sqrt{n^2 + 3n + 1} + n}\]

    \[= \lim_{n \to \infty} \frac{3n + 1}{\sqrt{n^2 + 3n + 1} + n}\]

หารทั้งเศษและส่วนด้วย n:

    \[= \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{n}}{\sqrt{1 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}} + 1}\]

    \[= \frac{3 + 0}{\sqrt{1 + 0 + 0} + 1} = \frac{3}{1 + 1} = \frac{3}{2}\]

ขั้นตอนที่ 3: เท่ากันทั้งสองข้าง

จากเงื่อนไขที่ลิมิตทั้งสองข้างเท่ากัน:

    \[k = \frac{3}{2}\]

คำตอบ: k = \frac{3}{2}

Discover more from KruJakkrapong 's Blog

Subscribe to get the latest posts sent to your email.

Leave a Reply