PAT-1 Mathematics O-Net

EP.8 แก้โจทย์ปัญหาลิมิตของลำดับ PAT1

Written by on

กำหนด: สำหรับ n = 2, 3, 4, \ldots ให้ a_n = 1 + 2 + 3 + \ldots + n

ต้องการหา: \lim_{n \to \infty} \frac{a_2a_3a_4 \ldots a_n}{(a_2 - 1)(a_3 - 1)(a_4 - 1) \ldots (a_n - 1)}

วิธีแก้:

ขั้นตอนที่ 1: หาสูตรของ a_n

    \[a_n = 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}\]

ขั้นตอนที่ 2: หา a_n - 1

    \[a_n - 1 = \frac{n(n+1)}{2} - 1 = \frac{n(n+1) - 2}{2} = \frac{n^2 + n - 2}{2} = \frac{(n-1)(n+2)}{2}\]

ขั้นตอนที่ 3: เขียนลิมิตในรูปใหม่

    \[\lim_{n \to \infty} \frac{a_2a_3a_4 \ldots a_n}{(a_2 - 1)(a_3 - 1)(a_4 - 1) \ldots (a_n - 1)}\]

    \[= \lim_{n \to \infty} \frac{\prod_{k=2}^{n} \frac{k(k+1)}{2}}{\prod_{k=2}^{n} \frac{(k-1)(k+2)}{2}}\]

    \[= \lim_{n \to \infty} \frac{\prod_{k=2}^{n} k(k+1)}{\prod_{k=2}^{n} (k-1)(k+2)}\]

ขั้นตอนที่ 4: แยกผลคูณ

เศษ: \prod_{k=2}^{n} k(k+1) = \prod_{k=2}^{n} k \cdot \prod_{k=2}^{n} (k+1)

  • \prod_{k=2}^{n} k = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdots n = \frac{n!}{1!} = n!
  • \prod_{k=2}^{n} (k+1) = 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdots (n+1) = \frac{(n+1)!}{2!} = \frac{(n+1)!}{2}

ดังนั้นเศษ = n! \cdot \frac{(n+1)!}{2} = \frac{n! \cdot (n+1)!}{2}

ส่วน: \prod_{k=2}^{n} (k-1)(k+2) = \prod_{k=2}^{n} (k-1) \cdot \prod_{k=2}^{n} (k+2)

  • \prod_{k=2}^{n} (k-1) = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) = (n-1)!
  • \prod_{k=2}^{n} (k+2) = 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdots (n+2) = \frac{(n+2)!}{3!} = \frac{(n+2)!}{6}

ดังนั้นส่วน = (n-1)! \cdot \frac{(n+2)!}{6} = \frac{(n-1)! \cdot (n+2)!}{6}

ขั้นตอนที่ 5: คำนวณลิมิต

    \[\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n! \cdot (n+1)!}{2}}{\frac{(n-1)! \cdot (n+2)!}{6}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n! \cdot (n+1)! \cdot 6}{2 \cdot (n-1)! \cdot (n+2)!}\]

    \[= \lim_{n \to \infty} \frac{3 \cdot n! \cdot (n+1)!}{(n-1)! \cdot (n+2)!}\]

    \[= \lim_{n \to \infty} \frac{3 \cdot n \cdot (n-1)! \cdot (n+1)!}{(n-1)! \cdot (n+2)(n+1)!}\]

    \[= \lim_{n \to \infty} \frac{3n}{n+2} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{1 + \frac{2}{n}} = 3\]

คำตอบ: \lim_{n \to \infty} \frac{a_2a_3a_4 \ldots a_n}{(a_2 - 1)(a_3 - 1)(a_4 - 1) \ldots (a_n - 1)} = 3

Discover more from KruJakkrapong 's Blog

Subscribe to get the latest posts sent to your email.

Leave a Reply