Variance and Standard Deviation : ข้อมูลกระจุกหรือกระจาย

เมื่อชีวิตไม่เป็นไปตามค่าเฉลี่ย…

สวัสดีเพื่อนๆ ชาวสถิติและผู้ที่กำลังพยายามทำความเข้าใจกับโลกแห่งตัวเลข!

เคยสงสัยไหมว่าทำไมเวลาเราได้เกรดเฉลี่ย 3.00 แล้วรู้สึกไม่เหมือนเพื่อนที่ได้ 3.00 เหมือนกัน? หรือทำไมเงินเดือนเฉลี่ยของคนไทยเป็นแสน แต่คุณกำลังนั่งกินมาม่าอยู่? นั่นก็เพราะว่า “ค่าเฉลี่ย” มันโกหกพวกเรา… หรือจริงๆ แล้วมันแค่บอกเรื่องไม่ครบ!

พูดง่ายๆ ค่าเฉลี่ยมันเหมือนกับการรู้ว่าโรงแรมที่คุณจะไปพักมีความสูงเฉลี่ย 10 ชั้น แต่ไม่รู้ว่าจริงๆ แล้วมีตึก 19 ชั้นอยู่ 1 หลัง และบ้านชั้นเดียวอีก 9 หลัง! นี่แหละที่เราเรียกว่า “การกระจายตัวของข้อมูล” ซึ่งวัดได้ด้วย Variance และ Standard Deviation นั่นเอง

Variance คืออะไร? (ความแปรปรวน หรือ ความลิงโลด)

Variance หรือความแปรปรวน คือ ค่าที่บอกว่าข้อมูลของเรามันกระจายห่างจากค่าเฉลี่ยมากแค่ไหน ถ้าเปรียบเหมือนกับเพื่อนในกลุ่ม Variance ก็คือระดับความ “แตกต่างจากบรรทัดฐาน” นั่นเอง

สูตรคำนวณ Variance:

$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}$

ถ้าเป็นตัวอย่างจากประชากร:

$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$

แปลเป็นภาษาคนก็คือ:

หาค่าเฉลี่ยของข้อมูลก่อน
เอาข้อมูลแต่ละตัวลบด้วยค่าเฉลี่ย
เอาผลลัพธ์มายกกำลังสอง (เพื่อให้ค่าเป็นบวกทั้งหมด)
หาผลรวมของค่าเหล่านั้น
หารด้วยจำนวนข้อมูล (หรือ n-1 ถ้าเป็นตัวอย่าง)

ตัวอย่างการคำนวณ Variance แบบชิลๆ

สมมติว่าเรามีคะแนนสอบของนักเรียน 5 คน: 70, 80, 85, 75, 90

หาค่าเฉลี่ย: (70 + 80 + 85 + 75 + 90) ÷ 5 = 80
เอาแต่ละค่ามาลบค่าเฉลี่ย:
- 70 – 80 = -10
- 80 – 80 = 0
- 85 – 80 = 5
- 75 – 80 = -5
- 90 – 80 = 10
ยกกำลังสอง:
- (-10)² = 100
- 0² = 0
- 5² = 25
- (-5)² = 25
- 10² = 100
หาผลรวม: 100 + 0 + 25 + 25 + 100 = 250
หารด้วยจำนวนข้อมูล-1 (เพราะเป็นตัวอย่าง): 250 ÷ 4 = 62.5

ดังนั้น Variance ของคะแนนสอบนี้คือ 62.5

Standard Deviation: เมื่อ Variance มันใหญ่เกินไป

Standard Deviation (ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน) คือ รากที่สองของ Variance นั่นเอง ทำไมเราต้องมีมันด้วย? เพราะ Variance มันอยู่ในหน่วยกำลังสอง ซึ่งไม่ค่อยสะดวกในการตีความ

เช่น ถ้าคะแนนเฉลี่ยคือ 80 แล้ว Variance เป็น 62.5 นี่มันหมายความว่าอะไร? แต่ถ้าเราบอกว่า Standard Deviation เป็น 7.9 (รากที่สองของ 62.5) ก็จะแปลความหมายได้ว่า โดยเฉลี่ยแล้วคะแนนของนักเรียนจะห่างจากค่าเฉลี่ยประมาณ 7.9 คะแนน

สูตรคำนวณ Standard Deviation:

$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$

สำหรับตัวอย่าง:

$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$

จากตัวอย่างข้างต้น Standard Deviation = √62.5 ≈ 7.9

การตีความ Standard Deviation อย่างมีสไตล์

เมื่อเรารู้ค่า Standard Deviation แล้ว เราสามารถตีความได้ดังนี้:

1. กฎ 68-95-99.7 (เรียกอีกอย่างว่ากฎ 3-sigma)

ถ้าข้อมูลมีการแจกแจงแบบปกติ (Normal Distribution):

ประมาณ 68% ของข้อมูลจะอยู่ในช่วง ±1 SD จากค่าเฉลี่ย
ประมาณ 95% ของข้อมูลจะอยู่ในช่วง ±2 SD จากค่าเฉลี่ย
ประมาณ 99.7% ของข้อมูลจะอยู่ในช่วง ±3 SD จากค่าเฉลี่ย

จากตัวอย่างของเรา ค่าเฉลี่ย = 80 และ SD = 7.9:

ประมาณ 68% ของนักเรียนจะมีคะแนนอยู่ระหว่าง 72.1 – 87.9
ประมาณ 95% ของนักเรียนจะมีคะแนนอยู่ระหว่าง 64.2 – 95.8
แทบทุกคน (99.7%) จะมีคะแนนอยู่ระหว่าง 56.3 – 103.7 (แต่เนื่องจากคะแนนสูงสุดคือ 100 ก็อาจจะเกิน 100 ไม่ได้นะ เว้นแต่จะมีคะแนนพิเศษ!)

2. Coefficient of Variation (CV)

CV = (Standard Deviation ÷ ค่าเฉลี่ย) × 100%

ค่านี้บอกความแปรปรวนเทียบกับค่าเฉลี่ย เหมาะสำหรับเปรียบเทียบความแปรปรวนระหว่างกลุ่มข้อมูลที่มีหน่วยหรือค่าเฉลี่ยต่างกัน

จากตัวอย่างของเรา: CV = (7.9 ÷ 80) × 100% = 9.875%

หมายความว่า คะแนนของนักเรียนมีความแปรปรวนประมาณ 9.9% ของค่าเฉลี่ย

เมื่อ SD น้อย VS เมื่อ SD มาก

SD น้อย (ข้อมูลกระจุก):

ข้อมูลส่วนใหญ่จะมีค่าใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ย
เช่น คะแนนสอบที่มีค่าเฉลี่ย 80 และ SD = 3 ก็จะมีนักเรียนส่วนใหญ่ได้คะแนนระหว่าง 77-83
เหมือนกับร้านอาหารที่รสชาติคงที่ ไม่ว่าจะไปกินกี่ครั้งก็อร่อยเท่าเดิม

SD มาก (ข้อมูลกระจาย):

ข้อมูลมีความหลากหลาย มีทั้งค่าที่สูงกว่าและต่ำกว่าค่าเฉลี่ยมาก
เช่น คะแนนสอบที่มีค่าเฉลี่ย 80 และ SD = 20 อาจมีนักเรียนได้คะแนนตั้งแต่ 40 ไปจนถึง 100
เหมือนร้านอาหารที่บางวันอร่อยมาก บางวันแย่มาก ไม่มีความแน่นอน

ทำไม Variance และ SD ถึงสำคัญในชีวิตจริง?

การลงทุน: หุ้นที่มี SD สูงมีความผันผวนมาก อาจให้ผลตอบแทนสูงแต่ก็มีความเสี่ยงสูงเช่นกัน
การควบคุมคุณภาพ: โรงงานต้องการให้สินค้ามี SD ต่ำ เพื่อให้มั่นใจว่าทุกชิ้นมีคุณภาพใกล้เคียงกัน
การตลาด: นักการตลาดอาจต้องการทราบว่าความพึงพอใจของลูกค้ามีความแปรปรวนมากน้อยแค่ไหน
การทำนาย: ถ้าเราทราบค่าเฉลี่ยและ SD ของข้อมูล เราสามารถคาดการณ์ได้ว่าข้อมูลในอนาคตจะมีค่าอยู่ในช่วงใด
การเปรียบเทียบ: เราใช้ SD เพื่อเปรียบเทียบการกระจายตัวของข้อมูลต่างชุดกัน ทำให้เห็นว่าข้อมูลชุดไหนมีความแปรปรวนมากกว่ากัน

สรุปแบบไม่ต้องคิดมาก

ถ้าให้สรุปแบบง่ายๆ:

ค่าเฉลี่ย บอกว่าข้อมูลโดยรวมอยู่ตรงไหน
Variance บอกว่าข้อมูลกระจายมากแค่ไหน (แต่หน่วยเป็นกำลังสอง)
Standard Deviation บอกว่าโดยเฉลี่ยแล้ว ข้อมูลห่างจากค่าเฉลี่ยเท่าไร (หน่วยเดียวกับข้อมูลเดิม)

ถ้าจะเปรียบก็เหมือนกับคนในห้อง:

ค่าเฉลี่ย คือ ความสูงเฉลี่ยของคนในห้อง
Variance และ SD คือ บอกว่ามีทั้งคนสูงมากและเตี้ยมากปะปนกันหรือไม่ หรือทุกคนสูงใกล้เคียงกัน

ทีนี้เวลาใครพูดถึง “ค่าเฉลี่ย” ให้ถามกลับไปเลยว่า “แล้ว SD เท่าไร?” เพื่อให้รู้ว่าข้อมูลกระจุกหรือกระจาย…เพราะมันอาจทำให้คุณเข้าใจเรื่องนั้นได้ดีขึ้นอย่างมีนัยสำคัญทางสถิติ (p < 0.05) เลยทีเดียว!

Discover more from KruJakkrapong 's Blog

Subscribe to get the latest posts sent to your email.