ไม่มีหมวดหมู่

คำตอบ O-NET คณิตศาสตร์ ปี 2554: วิเคราะห์ฟังก์ชัน

Written by on
O-NET คณิตศาสตร์ ปี 2554

มาตรวจสอบแต่ละข้อ:

ข้อ 1: {(0,1), (0,2), (2,1), (1,3)}

  • x = 0 มีค่า y เป็น 1 และ 2 (สองค่า)
  • ไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะ x = 0 มีภาพมากกว่าหนึ่งค่า

ข้อ 2: {(0,2), (1,1), (2,2), (3,0)}

  • x = 0 → y = 2
  • x = 1 → y = 1
  • x = 2 → y = 2
  • x = 3 → y = 0
  • แต่ละค่า x มีค่า y เพียงค่าเดียว ✓ เป็นฟังก์ชัน

ข้อ 3: {(1,1), (2,0), (2,3), (3,1)}

  • x = 2 มีค่า y เป็น 0 และ 3 (สองค่า)
  • ไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะ x = 2 มีภาพมากกว่าหนึ่งค่า

ข้อ 4: {(1,2), (0,3), (1,3), (2,2)}

  • x = 1 มีค่า y เป็น 2 และ 3 (สองค่า)
  • ไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะ x = 1 มีภาพมากกว่าหนึ่งค่า

คำตอบ: ข้อ 2 เท่านั้นที่เป็นฟังก์ชัน

หาค่า a_{11} จากข้อมูลที่กำหนดให้

กำหนด:

  • S_n เป็นผลบวก n พจน์แรกของลำดับเลขคณิต a_1, a_2, a_3, ...
  • S_5 = 90
  • S_{10} = 5

สำหรับลำดับเลขคณิต สูตรผลบวก n พจน์แรกคือ:

    \[S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]\]

โดยที่ a_1 คือพจน์แรก และ d คือผลต่างร่วม

จากเงื่อนไขที่กำหนด:

จาก S_5 = 90:

    \[S_5 = \frac{5}{2}[2a_1 + 4d] = \frac{5}{2} \cdot 2[a_1 + 2d] = 5[a_1 + 2d] = 90\]

    \[a_1 + 2d = 18 \quad \text{...(1)}\]

จาก S_{10} = 5:

    \[S_{10} = \frac{10}{2}[2a_1 + 9d] = 5[2a_1 + 9d] = 5\]

    \[2a_1 + 9d = 1 \quad \text{...(2)}\]

แก้ระบบสมการ: จากสมการ (1): a_1 = 18 - 2d

แทนในสมการ (2):

    \[2(18 - 2d) + 9d = 1\]

    \[36 - 4d + 9d = 1\]

    \[36 + 5d = 1\]

    \[5d = -35\]

    \[d = -7\]

แทนค่า d = -7 ในสมการ (1):

    \[a_1 + 2(-7) = 18\]

    \[a_1 - 14 = 18\]

    \[a_1 = 32\]

ดังนั้น a_{11} = a_1 + 10d = 32 + 10(-7) = 32 - 70 = -38

คำตอบ: ข้อ 2. -38

ฉันจะหาผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต 1 + (-2) + 4 + (-8) + \cdots + 256

ขั้นแรก ต้องระบุลักษณะของอนุกรม:

  • พจน์แรก a_1 = 1
  • พจน์ที่สอง a_2 = -2
  • พจน์ที่สาม a_3 = 4
  • พจน์ที่สี่ a_4 = -8

หาอัตราส่วนร่วม r:

    \[r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{-2}{1} = -2\]

ตรวจสอบ: \frac{a_3}{a_2} = \frac{4}{-2} = -2 และ \frac{a_4}{a_3} = \frac{-8}{4} = -2 ✓

ดังนั้น นี่คืออนุกรมเรขาคณิตที่มี a_1 = 1 และ r = -2

หาจำนวนพจน์ทั้งหมด: พจน์ทั่วไปคือ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} = 1 \cdot (-2)^{n-1} = (-2)^{n-1}

เมื่อ a_n = 256:

    \[(-2)^{n-1} = 256\]

เนื่องจาก 256 = 2^8 และเป็นจำนวนบวก ดังนั้น n-1 ต้องเป็นจำนวนคู่

    \[(-2)^{n-1} = (-1)^{n-1} \cdot 2^{n-1} = 256 = 2^8\]

เพื่อให้ (-1)^{n-1} = 1 แล้ว n-1 ต้องเป็นจำนวนคู่ และ 2^{n-1} = 2^8 ดังนั้น n-1 = 8 ซึ่งหมายความว่า n = 9

ตรวจสอบ: a_9 = (-2)^{9-1} = (-2)^8 = 256 ✓

ใช้สูตรผลบวกอนุกรมเรขาคณิต:

    \[S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1} = \frac{1((-2)^9 - 1)}{-2 - 1}\]

คำนวณ:

    \[(-2)^9 = -512\]

    \[S_9 = \frac{-512 - 1}{-3} = \frac{-513}{-3} = 171\]

คำตอบ: 171

ตรวจสอบว่าความสัมพันธ์ใดในข้อใดเป็นฟังก์ชัน

ฟังก์ชันจะต้องมีคุณสมบัติว่า สำหรับแต่ละค่า x ในโดเมน จะต้องมีค่า y เพียงค่าเดียวเท่านั้นที่สัมพันธ์กับ x นั้น

มาตรวจสอบแต่ละข้อ:

ข้อ 1: {(1,2), (2,3), (3,2), (2,4)}

  • x = 1 → y = 2
  • x = 2 → y = 3 และ y = 4 (สองค่า)
  • x = 3 → y = 2
  • ไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะ x = 2 มีภาพมากกว่าหนึ่งค่า

ข้อ 2: {(1,2), (2,3), (3,1), (3,3)}

  • x = 1 → y = 2
  • x = 2 → y = 3
  • x = 3 → y = 1 และ y = 3 (สองค่า)
  • ไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะ x = 3 มีภาพมากกว่าหนึ่งค่า

ข้อ 3: {(1,3), (1,2), (1,1), (1,4)}

  • x = 1 → y = 3, 2, 1, และ 4 (สี่ค่า)
  • ไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะ x = 1 มีภาพหลายค่า

ข้อ 4: {(1,3), (2,1), (3,3), (4,1)}

  • x = 1 → y = 3
  • x = 2 → y = 1
  • x = 3 → y = 3
  • x = 4 → y = 1
  • แต่ละค่า x มีค่า y เพียงค่าเดียว ✓ เป็นฟังก์ชัน

คำตอบ: ข้อ 4 เท่านั้นที่เป็นฟังก์ชัน

หาผลบวกของพจน์ที่ 40 และพจน์ที่ 42 ของลำดับเลขคณิต \frac{3}{2}, 1, \frac{1}{2}, ...

ขั้นแรก หาผลต่างร่วม d:

    \[d = a_2 - a_1 = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}\]

ตรวจสอบ: a_3 - a_2 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} ✓

สูตรพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต:

    \[a_n = a_1 + (n-1)d = \frac{3}{2} + (n-1)\left(-\frac{1}{2}\right)\]

    \[a_n = \frac{3}{2} - \frac{n-1}{2} = \frac{3-(n-1)}{2} = \frac{3-n+1}{2} = \frac{4-n}{2}\]

หาพจน์ที่ 40:

    \[a_{40} = \frac{4-40}{2} = \frac{-36}{2} = -18\]

หาพจน์ที่ 42:

    \[a_{42} = \frac{4-42}{2} = \frac{-38}{2} = -19\]

ผลบวกของพจน์ที่ 40 และ 42:

    \[a_{40} + a_{42} = -18 + (-19) = -37\]

คำตอบ: ข้อ 3. -37

Discover more from KruJakkrapong 's Blog

Subscribe to get the latest posts sent to your email.

Leave a Reply