ผลรวมอนุกรมกำลังสาม
9 วิชาสามัญ My Classoom O-Net PAT-1

EP.12 ผลรวมอนุกรมกำลังสามที่ไม่ได้เริ่มจาก 1

Written by on

จงหาผลรวมพจน์ที่ 10 ถึง พจน์ที่ 20 ของอนุกรม

    \[1+8+27+64+...\]

สูตรซิกมาไอกำลังสาม:

    \[\sum_{i=1}^{n} i^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2\]

วิธีทำ:

เราต้องการหา: \sum_{i=10}^{20} i^3

ใช้หลักการ: \sum_{i=10}^{20} i^3 = \sum_{i=1}^{20} i^3 - \sum_{i=1}^{9} i^3

ขั้นตอนที่ 1: หา \sum_{i=1}^{20} i^3

    \[\sum_{i=1}^{20} i^3 = \left[\frac{20 \times 21}{2}\right]^2 = \left[\frac{420}{2}\right]^2 = [210]^2 = 44,100\]

ขั้นตอนที่ 2: หา \sum_{i=1}^{9} i^3

    \[\sum_{i=1}^{9} i^3 = \left[\frac{9 \times 10}{2}\right]^2 = \left[\frac{90}{2}\right]^2 = [45]^2 = 2,025\]

ขั้นตอนที่ 3: หาผลต่าง

    \[\sum_{i=10}^{20} i^3 = 44,100 - 2,025 = 42,075\]

คำตอบ: ผลบวกพจน์ที่ 10 ถึงพจน์ที่ 20 เท่ากับ 42,075

เพิ่มเติมความรู้ให้อีกนิดกับซิกม่าของ i, i^2, และ i^3

สูตรผลบวกอนุกรมมีดังนี้:

เพิ่มเติมสูตรผลบวกอนุกรมพื้นฐาน:

1. สูตร Σi (ผลบวกของจำนวนเต็มบวก)

    \[\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}\]

ตัวอย่าง: เมื่อ n = 5

  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
  • ใช้สูตร: (5×6)/2 = 30/2 = 15 ✓

2. สูตร Σi² (ผลบวกของกำลังสอง

    \[\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

ตัวอย่าง: เมื่อ n = 5

  • 1² + 2² + 3² + 4² + 5² = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55
  • ใช้สูตร: (5×6×11)/6 = 330/6 = 55 ✓

3. สูตร Σi³ (ผลบวกของกำลังสาม)

    \[\sum_{i=1}^{n} i^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2\]

หรือเขียนในรูปแบบอื่นได้เป็น:

    \[\sum_{i=1}^{n} i^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}\]

ตัวอย่าง: เมื่อ n = 4

  • 1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 1 + 8 + 27 + 64 = 100
  • ใช้สูตร: [4×5/2]² = 10² = 100 ✓

ข้อสังเกต: สูตร Σi³ มีความพิเศษตรงที่ผลลัพธ์จะเท่ากับกำลังสองของผลบวกแบบธรรมดา [Σi]² เสมอ

สรุปสูตรทั้งหมด:

  1. Σi = \frac{n(n+1)}{2}
  2. Σi² = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
  3. Σi³ = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}

Discover more from KruJakkrapong 's Blog

Subscribe to get the latest posts sent to your email.

Leave a Reply