ไม่มีหมวดหมู่

EP.1 เฉลยแคลคูลัส ข้อ 1-5 (การหาอนุพันธ์โดยกฎลูกโซ่)

Written by จักรพงษ์ แผ่นทอง on ธันวาคม 23, 2025

ข้อ 1

โจทย์:

$f(x)=x^{2}-3x+6\sqrt{x}-\frac{5}{x^{2}}-7$

วิธีทำ:

จัดรูปฟังก์ชันให้อยู่ในรูปเลขยกกำลังเพื่อหาอนุพันธ์ได้ง่ายขึ้น:

$f(x) = x^2 - 3x + 6x^{1/2} - 5x^{-2} - 7$

ทำการหาอนุพันธ์ (Diff) เทียบกับ $x$ :

$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(3x) + \frac{d}{dx}(6x^{1/2}) - \frac{d}{dx}(5x^{-2}) - \frac{d}{dx}(7)$

$f'(x) = 2x - 3 + 6(\frac{1}{2})x^{-1/2} - 5(-2)x^{-3} - 0$

จัดรูปผลลัพธ์:

$f'(x) = 2x - 3 + 3x^{-1/2} + 10x^{-3}$

$f'(x) = 2x - 3 + \frac{3}{\sqrt{x}} + \frac{10}{x^3}$

ตอบ:

$f'(x) = 2x - 3 + \frac{3}{\sqrt{x}} + \frac{10}{x^3}$

ข้อ 2

โจทย์:

$f(x)=\frac{3x^{4}+2}{x^{2}-x+5}$

วิธีทำ:

ใช้กฎผลหาร (Quotient Rule): $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{v u' - u v'}{v^2}$

โดยให้ $u = 3x^4 + 2$ และ $v = x^2 - x + 5$

จะได้อนุพันธ์ย่อย:

$u' = 12x^3$

$v' = 2x - 1$

แทนค่าลงในสูตร:

$f'(x) = \frac{(x^2 - x + 5)(12x^3) - (3x^4 + 2)(2x - 1)}{(x^2 - x + 5)^2}$

กระจายเทอมเพื่อจัดรูป:

$f'(x) = \frac{(12x^5 - 12x^4 + 60x^3) - (6x^5 - 3x^4 + 4x - 2)}{(x^2 - x + 5)^2}$

$f'(x) = \frac{12x^5 - 12x^4 + 60x^3 - 6x^5 + 3x^4 - 4x + 2}{(x^2 - x + 5)^2}$

รวมพจน์ที่เหมือนกัน:

$f'(x) = \frac{6x^5 - 9x^4 + 60x^3 - 4x + 2}{(x^2 - x + 5)^2}$

ตอบ:

$f'(x) = \frac{6x^5 - 9x^4 + 60x^3 - 4x + 2}{(x^2 - x + 5)^2}$

ข้อ 3

โจทย์:

$f(x)=\sqrt[5]{2x^{3}+3x-4}$

วิธีทำ:

จัดรูปให้อยู่ในเลขยกกำลัง:

$f(x) = (2x^3 + 3x - 4)^{\frac{1}{5}}$

ใช้กฎลูกโซ่ (Chain Rule): $\frac{d}{dx} u^n = n u^{n-1} \cdot u'$

$f'(x) = \frac{1}{5}(2x^3 + 3x - 4)^{\frac{1}{5} - 1} \cdot \frac{d}{dx}(2x^3 + 3x - 4)$

$f'(x) = \frac{1}{5}(2x^3 + 3x - 4)^{-\frac{4}{5}} \cdot (6x^2 + 3)$

จัดรูปผลลัพธ์:

$f'(x) = \frac{6x^2 + 3}{5(2x^3 + 3x - 4)^{\frac{4}{5}}}$

ตอบ:

$f'(x) = \frac{3(2x^2 + 1)}{5\sqrt[5]{(2x^3 + 3x - 4)^4}}$

ข้อ 4

โจทย์:

$f(x)=\frac{(x^{2}+4)^{5}}{\sqrt{4x+1}}$

วิธีทำ:

ใช้กฎผลหารร่วมกับกฎลูกโซ่

ให้ $u = (x^2+4)^5$ จะได้ $u' = 5(x^2+4)^4(2x) = 10x(x^2+4)^4$

ให้ $v = (4x+1)^{1/2}$ จะได้ $v' = \frac{1}{2}(4x+1)^{-1/2}(4) = \frac{2}{\sqrt{4x+1}}$

เข้าสูตรผลหาร:

$f'(x) = \frac{\sqrt{4x+1} \cdot 10x(x^2+4)^4 - (x^2+4)^5 \cdot \frac{2}{\sqrt{4x+1}}}{(\sqrt{4x+1})^2}$

ทำส่วนของตัวเศษให้เท่ากัน (คูณไขว้ $\sqrt{4x+1}$ ):

$f'(x) = \frac{\frac{10x(x^2+4)^4(4x+1) - 2(x^2+4)^5}{\sqrt{4x+1}}}{4x+1}$

$f'(x) = \frac{10x(x^2+4)^4(4x+1) - 2(x^2+4)^5}{(4x+1)^{3/2}}$

ดึงตัวร่วม $2(x^2+4)^4$ :

$f'(x) = \frac{2(x^2+4)^4 [ 5x(4x+1) - (x^2+4) ]}{(4x+1)^{3/2}}$

$f'(x) = \frac{2(x^2+4)^4 [ 20x^2 + 5x - x^2 - 4 ]}{(4x+1)^{3/2}}$

$f'(x) = \frac{2(x^2+4)^4 (19x^2 + 5x - 4)}{(4x+1)^{3/2}}$

ตอบ:

$f'(x) = \frac{2(x^2+4)^4 (19x^2 + 5x - 4)}{(4x+1)^{\frac{3}{2}}}$

ข้อ 5

โจทย์:

$f(x)=sin(x^{2}-2)$

วิธีทำ:

ใช้กฎลูกโซ่สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติ: $\frac{d}{dx}\sin(u) = \cos(u) \cdot u'$

ให้ $u = x^2 - 2$ จะได้ $u' = 2x$

$f'(x) = \cos(x^2 - 2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - 2)$

$f'(x) = \cos(x^2 - 2) \cdot (2x)$

จัดรูป:

$f'(x) = 2x \cos(x^2 - 2)$

ตอบ:

$f'(x) = 2x \cos(x^2 - 2)$

Related

Discover more from KruJakkrapong 's Blog

Subscribe to get the latest posts sent to your email.

Leave a ReplyCancel reply