ไม่มีหมวดหมู่ 9 วิชาสามัญ PAT-1

EP. 10 แก้โจทย์ปัญหาเมทริกซ์ จากข้อสอบ 9 วิชาสามัญ ปี 57

Written by on

จะหาค่า a, b, c จากการดำเนินการแถว R₂ – 3R₁

จากข้อมูลที่กำหนด:

เมทริกซ์เริ่มต้น:

    \[\begin{bmatrix} 1 & 2 & a \\ 3 & 1 & b \\ -1 & 0 & c \end{bmatrix}\]

เมทริกซ์หลังการดำเนินการ R₂ – 3R₁:

    \[\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -5 & 7 \\ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix}\]

จากการดำเนินการ R₂ – 3R₁:

  • แถวที่ 1 และแถวที่ 3 ไม่เปลี่ยนแปลง
  • แถวที่ 2 เปลี่ยนจาก [3, 1, b] เป็น [0, -5, 7]

หาค่า a: จากแถวที่ 1: a = -1

หาค่า b: จากแถวที่ 2:

  • R₂ – 3R₁ = [3, 1, b] – 3[1, 2, a]
  • [3, 1, b] – [3, 6, 3a] = [0, -5, b – 3a]
  • b – 3a = 7
  • b – 3(-1) = 7
  • b + 3 = 7
  • b = 4

หาค่า c: จากแถวที่ 3: c = 2

ตรวจสอบ a + b + c: a + b + c = (-1) + 4 + 2 = 5

ดังนั้น a = -1, b = 4, c = 2 และ a + b + c = 5

ฉันจะเขียนเฉลยใหม่โดยใช้ข้อมูลจากภาพที่ 2

จากข้อมูลที่กำหนด:

  • เมทริกซ์ Minor: [M_{ij}(A)] = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & -4 \\ 5 & 1 & 3 \end{bmatrix}
  • เมทริกซ์ Cofactor: \text{Cof}(A) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -3 & 2 & 4 \\ 5 & -1 & 3 \end{bmatrix}
  • เมทริกซ์ Adjugate: \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 5 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & 3 \end{bmatrix}

ขั้นตอนที่ 1: หา det(A) จากสูตร \det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^{n-1} เมื่อ n = 3

คำนวณ \det(\text{adj}(A)):

    \[\det(\text{adj}(A)) = \det\begin{bmatrix} 1 & -3 & 5 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & 3 \end{bmatrix}\]

ใช้การกระจายตามแถวแรก:

    \[= 1 \cdot \det\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} - (-3) \cdot \det\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} + 5 \cdot \det\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\]

    \[= 1(6 + 4) + 3(3 + 2) + 5(4 - 4)\]

    \[= 10 + 15 + 0 = 25\]

จาก \det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^{3-1} = (\det(A))^2:

    \[25 = (\det(A))^2\]

    \[\det(A) = \pm 5\]

เนื่องจากกำหนดให้ \det(A) > 0 ดังนั้น \det(A) = 5

ขั้นตอนที่ 2: หา A⁻¹

    \[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 1 & -3 & 5 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & 3 \end{bmatrix}\]

ขั้นตอนที่ 3: หา b₁₁ + b₁₂ + b₁₃ จากแถวแรกของ A⁻¹:

    \[b_{11} = \frac{1}{5}, \quad b_{12} = \frac{-3}{5}, \quad b_{13} = \frac{5}{5} = 1\]

    \[b_{11} + b_{12} + b_{13} = \frac{1}{5} + \frac{-3}{5} + \frac{5}{5} = \frac{1 - 3 + 5}{5} = \frac{3}{5}\]

คำตอบคือ 3. \frac{3}{5}

จะหาความน่าจะเป็นที่จะได้เมทริกซ์ที่มี x < y และ x < z

ก่อนอื่นมาวิเคราะห์ปัญหา:

  • เลือกเมทริกซ์จากเซต S ที่มี 1 เมทริกซ์
  • x, y, z ∈ {1, 2, …, 10}
  • ต้องการ x < y และ x < z

ขั้นตอนที่ 1: หาจำนวนเมทริกซ์ทั้งหมด จำนวน = 10³ = 1000 (เนื่องจาก x, y, z แต่ละตัวมี 10 ตัวเลือก)

ขั้นตอนที่ 2: หาจำนวนเมทริกซ์ที่ x < y และ x < z

สำหรับแต่ละค่า x = 1, 2, …, 9:

  • ถ้า x = 1: y สามารถเป็น {2, 3, …, 10} → 9 ตัวเลือก z สามารถเป็น {2, 3, …, 10} → 9 ตัวเลือก จำนวนกรณี = 9 × 9 = 81
  • ถ้า x = 2: y สามารถเป็น {3, 4, …, 10} → 8 ตัวเลือก z สามารถเป็น {3, 4, …, 10} → 8 ตัวเลือก จำนวนกรณี = 8 × 8 = 64
  • ถ้า x = k: y สามารถเป็น {k+1, k+2, …, 10} → (10-k) ตัวเลือก z สามารถเป็น {k+1, k+2, …, 10} → (10-k) ตัวเลือก จำนวนกรณี = (10-k)²

ขั้นตอนที่ 3: คำนวณจำนวนกรณีทั้งหมด จำนวนกรณีที่พอใจ = Σ(k=1 to 9) (10-k)² = 9² + 8² + 7² + 6² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1² = 81 + 64 + 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 285

ขั้นตอนที่ 4: คำนวณความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็น = 285/1000

คำตอบคือ 5. 285/1000

จะหาค่าต่ำสุด (m) และค่าสูงสุด (M) ของฟังก์ชัน f(x) แล้วนับจำนวนสมาชิกของเซต S

ขั้นตอนที่ 1: คำนวณ det(f(x))

    \[f(x) = \begin{vmatrix} x & x & x \\ 0 & x-3 & x \\ 0 & 0 & x+3 \end{vmatrix}\]

เนื่องจากเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน:

    \[f(x) = x \cdot (x-3) \cdot (x+3) = x(x^2-9) = x^3 - 9x\]

ขั้นตอนที่ 2: หาค่าต่ำสุดและสูงสุด

หาจุดวิกฤต: f'(x) = 3x² – 9 = 0 3x² = 9 x² = 3 x = ±√3

คำนวณค่าฟังก์ชันที่จุดสำคัญ:

  • f(-√3) = (-√3)³ – 9(-√3) = -3√3 + 9√3 = 6√3 ≈ 10.39
  • f(√3) = (√3)³ – 9(√3) = 3√3 – 9√3 = -6√3 ≈ -10.39

เนื่องจาก f(x) = x³ – 9x เป็นฟังก์ชันลูกบาศก์:

  • เมื่อ x → -∞, f(x) → -∞
  • เมื่อ x → +∞, f(x) → +∞

ดังนั้น:

  • ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ M = -6√3 (ที่ x = √3)
  • ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ m = 6√3 (ที่ x = -√3)

ขั้นตอนที่ 3: หาเซต S

S = {a | a เป็นจำนวนเต็ม และ -6√3 ≤ f(a) ≤ 6√3}

เนื่องจาก 6√3 ≈ 10.39: เงื่อนไข: -10.39 ≤ a³ – 9a ≤ 10.39

ทดสอบค่าจำนวนเต็ม:

  • f(-4) = -64 + 36 = -28 < -10.39 ✗
  • f(-3) = -27 + 27 = 0 ✓
  • f(-2) = -8 + 18 = 10 ✓
  • f(-1) = -1 + 9 = 8 ✓
  • f(0) = 0 ✓
  • f(1) = 1 – 9 = -8 ✓
  • f(2) = 8 – 18 = -10 ✓
  • f(3) = 27 – 27 = 0 ✓
  • f(4) = 64 – 36 = 28 > 10.39 ✗

ดังนั้น S = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

จำนวนสมาชิกของ S = 7

คำตอบคือ 4. 7

ดาวโหลดโจทย์ข้อสอบทั้งหมดและเฉลยบางข้อขอบคุณ ratcenter

9 วิชาสามัญ – คณิตศาสตร์ สายวิทย์ ปี 2557ดาวน์โหลด

Discover more from KruJakkrapong 's Blog

Subscribe to get the latest posts sent to your email.

Leave a Reply