EP. 11 แก้โจทย์เมทริกซ์ จากข้อสอบ Entrance ปี 46

จากเมทริกซ์:

$A = \begin{bmatrix} a & 1 & 2a+\sqrt{6} \\ 6 & a & 3 \\ a & 2 & a \end{bmatrix}$

เราทราบว่า $M_{11}(A) = 18$ และ $M_{22}(A) = -12$

หาค่า $a$ จาก $M_{11}(A) = 18$ :

$M_{11}(A)$ คือ determinant ของเมทริกซ์ย่อย $2 \times 2$ ที่ได้จากการตัดแถวที่ 1 และคอลัมน์ที่ 1 ออก:

$M_{11}(A) = \begin{vmatrix} a & 3 \\ 2 & a \end{vmatrix} = a^2 - 6 = 18$

ดังนั้น: $a^2 = 24 \Rightarrow a = \pm 2\sqrt{6}$

ตรวจสอบด้วย $M_{22}(A) = -12$ :

$M_{22}(A)$ คือ determinant ของเมทริกซ์ย่อย $2 \times 2$ ที่ได้จากการตัดแถวที่ 2 และคอลัมน์ที่ 2 ออก:

$M_{22}(A) = \begin{vmatrix} a & 2a+\sqrt{6} \\ a & a \end{vmatrix} = a^2 - a(2a+\sqrt{6}) = -a^2 - a\sqrt{6} = -12$

แทนค่า $a^2 = 24$ :

$-24 - a\sqrt{6} = -12$

$a\sqrt{6} = -12$

$a = -\frac{12}{\sqrt{6}} = -2\sqrt{6}$

ดังนั้น $a = -2\sqrt{6}$

หา $C_{31}(A)$ :

$C_{31}(A) = (-1)^{3+1} \times M_{31}(A) = M_{31}(A)$

$M_{31}(A)$ คือ determinant ของเมทริกซ์ย่อย $2 \times 2$ ที่ได้จากการตัดแถวที่ 3 และคอลัมน์ที่ 1 ออก:

$M_{31}(A) = \begin{vmatrix} 1 & 2a+\sqrt{6} \\ a & 3 \end{vmatrix} = 3 - a(2a+\sqrt{6})$

แทนค่า $a = -2\sqrt{6}$ :

$M_{31}(A) = 3 - (-2\sqrt{6})(2(-2\sqrt{6})+\sqrt{6})$

$= 3 - (-2\sqrt{6})(-4\sqrt{6}+\sqrt{6})$

$= 3 - (-2\sqrt{6})(-3\sqrt{6})$

$= 3 - 6 \times 6$

$= 3 - 36$

$= -33$

คำตอบคือ 2. $-33$

ฉันจะแก้โจทย์นี้โดยใช้ข้อมูลที่กำหนดให้

จากเมทริกซ์:

$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & a \end{bmatrix}$

เราทราบว่า $a > 10$ และ $\det(\text{adj } A) = 225$

หา $\det(A)$ ก่อน:

ใช้การขยาย cofactor ตามแถวที่ 2 (เพราะมี 0 มากที่สุด):

$\det(A) = 0 \cdot C_{21} + 3 \cdot C_{22} + 0 \cdot C_{23} = 3 \cdot C_{22}$

$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & a \end{vmatrix} = a - 8$

ดังนั้น:

$\det(A) = 3(a - 8) = 3a - 24$

ใช้สูตร $\det(\text{adj } A) = [\det(A)]^{n-1}$ :

สำหรับเมทริกซ์ $3 \times 3$ เรามี $n = 3$ ดังนั้น:

$\det(\text{adj } A) = [\det(A)]^{3-1} = [\det(A)]^2$

แทนค่าที่ทราบ:

$225 = (3a - 24)^2$

$\sqrt{225} = |3a - 24|$

$15 = |3a - 24|$

แก้สมการ:

กรณีที่ 1: $3a - 24 = 15$

$3a = 39$

$a = 13$

กรณีที่ 2: $3a - 24 = -15$

$3a = 9$

$a = 3$

ตรวจสอบเงื่อนไข:

เนื่องจาก $a > 10$ ดังนั้น $a = 3$ ไม่สอดคล้องกับเงื่อนไข

เหลือเพียง $a = 13$ ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไข $a > 10$

ตรวจสอบ:

เมื่อ $a = 13$ : $\det(A) = 3(13) - 24 = 15$
$\det(\text{adj } A) = 15^2 = 225$ ✓

คำตอบคือ 3. $13$

จากเมทริกซ์:

$A = \begin{bmatrix} x & -1 \\ 1 & -x \end{bmatrix}$

หา $\det(A)$ ก่อน:

$\det(A) = x(-x) - (-1)(1) = -x^2 + 1 = 1 - x^2$

หา $\det(A^{-1})$ : เนื่องจาก $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$

$\det(A^{-1}) = \frac{1}{1-x^2}$

หา $\det(2A^2)$ : เนื่องจาก $\det(kA) = k^n \det(A)$ สำหรับเมทริกซ์ $n \times n$ และ $\det(A^2) = [\det(A)]^2$

สำหรับเมทริกซ์ $2 \times 2$ :

$\det(2A^2) = 2^2 \cdot \det(A^2) = 4 \cdot [\det(A)]^2 = 4(1-x^2)^2$

แทนค่าในสมการที่กำหนด:

$\det(2A^2) + (1-x^2)^3 \det(A^{-1}) = 45$

$4(1-x^2)^2 + (1-x^2)^3 \cdot \frac{1}{1-x^2} = 45$

$4(1-x^2)^2 + (1-x^2)^2 = 45$

$5(1-x^2)^2 = 45$

$(1-x^2)^2 = 9$

$|1-x^2| = 3$

แก้สมการ:

กรณีที่ 1: $1-x^2 = 3$

$x^2 = -2$

(ไม่มีคำตอบจริง)

กรณีที่ 2: $1-x^2 = -3$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

ดังนั้น $x = 2$ หรือ $x = -2$

หาค่า $a$ และ $b$ :

ถ้า $x = 2$ : เรามี $a = 2, b = -2$
ถ้า $x = -2$ : เรามี $a = -2, b = 2$

เนื่องจากโจทย์กำหนดว่า $a > b$ ดังนั้น:

กรณี $a = 2, b = -2$ : $2 > -2$ ✓
กรณี $a = -2, b = 2$ : $-2 > 2$ ✗

ดังนั้น $a = 2, b = -2$

หา $2a - b$ :

$2a - b = 2(2) - (-2) = 4 + 2 = 6$

คำตอบคือ $2a - b = 6$

จากเมทริกซ์:

$A = \begin{bmatrix} 1+x & 1 \\ 1 & 1+x \end{bmatrix}$

ขั้นตอนที่ 1: หา $\det(A)$

$\det(A) = (1+x)(1+x) - (1)(1) = (1+x)^2 - 1 = 1 + 2x + x^2 - 1 = x^2 + 2x$

ขั้นตอนที่ 2: ใช้เงื่อนไข $\det\left[\frac{1}{2}A^2\right] = 16$

เนื่องจาก $\det(kA) = k^n \det(A)$ สำหรับเมทริกซ์ $n \times n$ และ $\det(A^2) = [\det(A)]^2$

สำหรับเมทริกซ์ $2 \times 2$ :

$\det\left[\frac{1}{2}A^2\right] = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \det(A^2) = \frac{1}{4}[\det(A)]^2$

แทนค่าในเงื่อนไข:

$\frac{1}{4}[\det(A)]^2 = 16$

$[\det(A)]^2 = 64$

$|\det(A)| = 8$

ดังนั้น $\det(A) = 8$ หรือ $\det(A) = -8$

ขั้นตอนที่ 3: หาค่า $x$

กรณีที่ 1: $x^2 + 2x = 8$

$x^2 + 2x - 8 = 0$

$(x+4)(x-2) = 0$

$x = -4 \text{ หรือ } x = 2$

กรณีที่ 2: $x^2 + 2x = -8$

$x^2 + 2x + 8 = 0$

$\Delta = 4 - 32 = -28 < 0$

(ไม่มีคำตอบจริง)

ดังนั้น $x = 2$ หรือ $x = -4$

ขั้นตอนที่ 4: หา $\det[8A^{-1} + 2A^t]$

เนื่องจาก $A$ เป็นเมทริกซ์สมมาตร จึง $A^t = A$

สำหรับ $x = 2$ : $\det(A) = 8$

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) = \frac{1}{8}\begin{bmatrix} 3 & -1 \ -1 & 3 \end{bmatrix}$

$8A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$

$8A^{-1} + 2A^t = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 1 \\ 1 & 9 \end{bmatrix}$

$\det[8A^{-1} + 2A^t] = 9 \cdot 9 - 1 \cdot 1 = 81 - 1 = 80$

สำหรับ $x = -4$ : $\det(A) = 8$

$A = \begin{bmatrix} -3 & 1 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}$

$A^{-1} = \frac{1}{8}\begin{bmatrix} -3 & -1 \\ -1 & -3 \end{bmatrix}$

$8A^{-1} = \begin{bmatrix} -3 & -1 \\ -1 & -3 \end{bmatrix}$

$8A^{-1} + 2A^t = \begin{bmatrix} -3 & -1 \\ -1 & -3 \end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix} -3 & 1 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -9 & 1 \\ 1 & -9 \end{bmatrix}$

$\det[8A^{-1} + 2A^t] = (-9)(-9) - (1)(1) = 81 - 1 = 80$

คำตอบคือ 3. $80$

ฉันจะแก้โจทย์นี้โดยใช้ข้อมูลที่กำหนดให้

จากข้อมูลที่กำหนด:

$\text{adj } A = \begin{bmatrix} 2 & -5 & -1 \\ -28 & 10 & -1 \\ 17 & -5 & -1 \end{bmatrix}$

$A_{11} = \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 5 & 8 \end{bmatrix} \text{ และ } A_{32} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$

ขั้นตอนที่ 1: เข้าใจความหมายของ $A_{ij}$

$A_{ij}$ คือเมทริกซ์ย่อยที่ได้จากการตัดแถวที่ $i$ และคอลัมน์ที่ $j$ ออกจากเมทริกซ์ $A$

ขั้นตอนที่ 2: หา $\det(A)$ จาก $A_{11}$

Minor $M_{11} = \det(A_{11}) = (-1)(8) - (-2)(5) = -8 + 10 = 2$

Cofactor $C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = 2$

จาก adjugate matrix เรารู้ว่าตำแหน่ง $(1,1)$ ของ $\text{adj } A$ คือ $C_{11} = 2$ ✓

ขั้นตอนที่ 3: ตรวจสอบด้วย $A_{32}$

Minor $M_{32} = \det(A_{32}) = (1)(-2) - (-1)(3) = -2 + 3 = 1$

Cofactor $C_{32} = (-1)^{3+2} M_{32} = (-1)^5 \cdot 1 = -1$

จาก adjugate matrix ตำแหน่ง $(2,3)$ ของ $\text{adj } A$ คือ $C_{32} = -1$ ✓

ขั้นตอนที่ 4: ใช้สูตรความสัมพันธ์ของ adjugate matrix

สำหรับเมทริกซ์ $3 \times 3$ :

$\det(\text{adj } A) = [\det(A)]^{3-1} = [\det(A)]^2$

คำนวณ $\det(\text{adj } A)$ :

$\det(\text{adj } A) = 2 \begin{vmatrix} 10 & -1 \\ -5 & -1 \end{vmatrix} - (-5) \begin{vmatrix} -28 & -1 \\ 17 & -1 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} -28 & 10 \\ 17 & -5 \end{vmatrix}$