9วิชาสามัญจำนวนเชิงซ้อน
9 วิชาสามัญ

EP. 18 แก้โจทย์จำนวนเชิงซ้อน จากข้อสอบ 9 วิชาสามัญ ปี 2557

Written by on

โจทย์(9 วิชาสามัญ ปี 2558): กำหนดให้ z เป็นจำนวนเชิงซ้อน z = i^{-7} + i^{-5} + i^{-3} + i หาค่าของ |z^2|

วิธีทำ

ขั้นตอนที่ 1: ทบทวนคุณสมบัติของ i

เราต้องจำไว้ว่า:

  • i^1 = i
  • i^2 = -1
  • i^3 = -i
  • i^4 = 1
  • และรูปแบบจะซ้ำทุก 4 ครั้ง

สำหรับกำลังลบ: i^{-n} = \frac{1}{i^n}

ขั้นตอนที่ 2: คำนวณแต่ละพจน์

หา i^{-7}:

    \[i^{-7} = \frac{1}{i^7} = \frac{1}{i^{4+3}} = \frac{1}{i^4 \cdot i^3} = \frac{1}{1 \cdot (-i)} = \frac{1}{-i}\]

    \[\frac{1}{-i} = \frac{1}{-i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{i}{-i^2} = \frac{i}{-(-1)} = \frac{i}{1} = i\]

หา i^{-5}:

    \[i^{-5} = \frac{1}{i^5} = \frac{1}{i^{4+1}} = \frac{1}{i^4 \cdot i^1} = \frac{1}{1 \cdot i} = \frac{1}{i}\]

    \[\frac{1}{i} = \frac{1}{i} \cdot \frac{-i}{-i} = \frac{-i}{-i^2} = \frac{-i}{-(-1)} = \frac{-i}{1} = -i\]

หา i^{-3}:

    \[i^{-3} = \frac{1}{i^3} = \frac{1}{-i} = \frac{1}{-i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{i}{-i^2} = \frac{i}{1} = i\]

หา i^1:

    \[i^1 = i\]

ขั้นตอนที่ 3: หาค่า z

    \[z = i^{-7} + i^{-5} + i^{-3} + i\]

    \[z = i + (-i) + i + i\]

    \[z = i - i + i + i\]

    \[z = 2i\]

ขั้นตอนที่ 4: หาค่า z^2

    \[z^2 = (2i)^2 = 4i^2 = 4(-1) = -4\]

ขั้นตอนที่ 5: หาค่า |z^2|

    \[|z^2| = |-4| = 4\]

คำตอบ

    \[\boxed{|z^2| = 4}\]

การหารากที่ 3 ของจำนวนเชิงซ้อน

โจทย์(9 วิชาสามัญ ปี 2557): กำหนดให้ z_1, z_2 และ z_3 เป็นรากที่ 3 ของจำนวนเชิงซ้อนจำนวนหนึ่ง

ถ้า z_1 = \sqrt{2}(\cos 15° + i \sin 15°) แล้วผลคูณ z_2z_3 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

วิธีทำ

ขั้นตอนที่ 1: วิเคราะห์ z_1

    \[z_1 = \sqrt{2}(\cos 15° + i \sin 15°) = \sqrt{2} \cdot e^{i \cdot 15°}\]

ในรูปแบบเชิงขั้ว: z_1 = \sqrt{2} \cdot \text{cis}(15°)

ขั้นตอนที่ 2: หาจำนวนเชิงซ้อนที่ z_1, z_2, z_3 เป็นรากที่ 3

ถ้า z_1, z_2, z_3 เป็นรากที่ 3 ของจำนวน w แล้ว z_1^3 = z_2^3 = z_3^3 = w

    \[w = z_1^3 = (\sqrt{2})^3 \cdot e^{i \cdot 3 \times 15°} = 2\sqrt{2} \cdot e^{i \cdot 45°}\]

    \[w = 2\sqrt{2}(\cos 45° + i \sin 45°) = 2\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\]

    \[w = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i) = 2(1 + i) = 2 + 2i\]

ขั้นตอนที่ 3: หารากที่ 3 ทั้งหมด

รากที่ 3 ของ w = 2 + 2i คือ:

    \[z_k = \sqrt[3]{|w|} \cdot e^{i(\arg(w) + 2\pi k)/3}, \quad k = 0, 1, 2\]

คำนวณ |w| และ \arg(w):

  • |w| = |2 + 2i| = 2\sqrt{1^2 + 1^2} = 2\sqrt{2}
  • \arg(w) = \arctan\left(\frac{2}{2}\right) = \arctan(1) = 45°

ดังนั้น:

  • z_1 = \sqrt[3]{2\sqrt{2}} \cdot e^{i \cdot 45°/3} = \sqrt{2} \cdot e^{i \cdot 15°} ✓
  • z_2 = \sqrt{2} \cdot e^{i(15° + 120°)} = \sqrt{2} \cdot e^{i \cdot 135°}
  • z_3 = \sqrt{2} \cdot e^{i(15° + 240°)} = \sqrt{2} \cdot e^{i \cdot 255°}

ขั้นตอนที่ 4: คำนวณ z_2z_3

    \[z_2z_3 = \sqrt{2} \cdot e^{i \cdot 135°} \times \sqrt{2} \cdot e^{i \cdot 255°}\]

    \[z_2z_3 = 2 \cdot e^{i(135° + 255°)} = 2 \cdot e^{i \cdot 390°} = 2 \cdot e^{i \cdot 30°}\]

    \[z_2z_3 = 2(\cos 30° + i \sin 30°) = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\right)\]

    \[z_2z_3 = \sqrt{3} + i\]

คำตอบ

ตัวเลือกที่ 5: \sqrt{3} + i

โจทย์ (9 วิชาสามัญ ปี 2558): ถ้า A และ B เป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อน โดยที่

  • A = \{z \mid z^{12} = 1\}
  • B = \{z \mid z^{18} - z^9 - 2 = 0\}

แล้วจำนวนสมาชิกของ A \cap B เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

วิธีทำ

ขั้นตอนที่ 1: วิเคราะห์เซต A

A = \{z \mid z^{12} = 1\} คือเซตของรากที่ 12 ของ 1

รากที่ 12 ของ 1 คือ:

    \[z_k = e^{2\pi i k/12} = e^{\pi i k/6}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, 11\]

ดังนั้น |A| = 12

ขั้นตอนที่ 2: วิเคราะห์เซต B

B =\ {z \mid z^{18} - z^9 - 2 = 0\}

ให้ w = z^9 แล้วสมการจะกลายเป็น:

    \[w^2 - w - 2 = 0\]

แยกตัวประกอบ: (w - 2)(w + 1) = 0

ดังนั้น w = 2 หรือ w = -1

กรณีที่ 1: z^9 = 2

    \[z = 2^{1/9} \cdot e^{2\pi i k/9}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, 8\]

กรณีที่ 2: z^9 = -1

    \[z^9 = e^{i\pi} = e^{i(\pi + 2\pi m)}\]

    \[z = e^{i\pi(1 + 2m)/9}, \quad m = 0, 1, 2, \ldots, 8\]

    \[z = e^{i\pi(2m + 1)/9}, \quad m = 0, 1, 2, \ldots, 8\]

ดังนั้น |B| = 9 + 9 = 18

ขั้นตอนที่ 3: หา A \cap B

สมาชิกของ A \cap B ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขทั้งสอง:

  1. z^{12} = 1
  2. z^{18} - z^9 - 2 = 0

จากเงื่อนไข (1): z^{12} = 1 จากเงื่อนไข (2): z^9 = 2 หรือ z^9 = -1

กรณีที่ 1: z^{12} = 1 และ z^9 = 2

จาก z^{12} = 1 ได้ |z^{12}| = |z|^{12} = 1 ดังนั้น |z| = 1

แต่จาก z^9 = 2 ได้ |z^9| = |z|^9 = 2 ดังนั้น |z| = 2^{1/9} \neq 1

ขัดแย้ง! ไม่มีค่า z ที่เป็นไปได้ในกรณีนี้

กรณีที่ 2: z^{12} = 1 และ z^9 = -1

จาก z^9 = -1 ได้ |z^9| = |z|^9 = 1 ดังนั้น |z| = 1 ✓

สอดคล้องกับ z^{12} = 1

ตอนนี้หา z ที่เป็นไปตามทั้งสองเงื่อนไข:

  • z^{12} = 1
  • z^9 = -1

จาก z^9 = -1 และ z^{12} = 1:

(z^9)^4 = (-1)^4 = 1 และ (z^{12})^3 = 1^3 = 1

ดังนั้น z^{36} = 1

เราต้องหา z ที่:

  • z^{36} = 1 (รากที่ 36 ของ 1)
  • z^9 = -1
  • z^{12} = 1

ขั้นตอนที่ 4: ใช้ทฤษฎีจำนวน

หา \gcd(9, 12) = 3

จาก z^9 = -1 และ z^{12} = 1:

(z^9)^4 \cdot (z^{12})^{-3} = (-1)^4 \cdot 1^{-3} = 1 z^{36} \cdot z^{-36} = z^0 = 1 ✓

ใช้อัลกอริทึมยุคลิด: 12 = 1 \cdot 9 + 3 9 = 3 \cdot 3 + 0

ดังนั้น \gcd(9, 12) = 3

z^3 = (z^{12})^{1/4} = 1^{1/4} และ z^3 = (z^9)^{1/3} = (-1)^{1/3}

สมการ z^3 = -1 มีผลเฉลย 3 ค่า:

    \[z = (-1)^{1/3} = e^{i\pi(2k+1)/3}, \quad k = 0, 1, 2\]

ตรวจสอบว่าค่าเหล่านี้เป็นไปตามเงื่อนไขเดิม:

สำหรับ z = e^{i\pi/3}:

  • z^9 = e^{i3\pi} = -1 ✓
  • z^{12} = e^{i4\pi} = 1 ✓

สำหรับ z = e^{i\pi}:

  • z^9 = e^{i9\pi} = -1 ✓
  • z^{12} = e^{i12\pi} = 1 ✓

สำหรับ z = e^{i5\pi/3}:

  • z^9 = e^{i15\pi} = -1 ✓
  • z^{12} = e^{i20\pi} = 1 ✓

ผลลัพธ์

A \cap B มีสมาชิก 3 ตัว

    \[\boxed{|A \cap B| = 3}\]

คำตอบ

ตัวเลือกที่ 3: 3

โจทย์: กำหนดให้ A และ B เป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อน โดยที่

  • A = {z \mid \text{Im}(z - 2i) + |\text{Re}(z)|^2 \leq 0}
  • B = {z \mid \text{Im}(z) \geq 0}

หาพื้นที่ของภาคตัด A \cap B

วิธีทำ

ขั้นตอนที่ 1: แปลงเงื่อนไขของเซต A

ให้ z = x + yi แทนในเงื่อนไขของ A จะได้:

    \[\text{Im}(x + yi - 2i) + [\text{Re}(x + yi)]^2 \leq 0\]

    \[\frac{y - 2}{} + \frac{x^2}{} \leq 0\]

    \[y \leq -x^2 + 2\]

นี่คือจากการแปลง y = -x^2 + 2 เป็นพาราโบลาคว่ำลง

ขั้นตอนที่ 2: หาจุดตัดกับแกน

หาจุดตัดเกณฑ์พื้นผิวให้ได้ราคา จาก (0, 2) และ (\pm\sqrt{2}, 0)

จะได้ y \leq -x^2 + 2 เป็นพื้นที่ในพาราโบลา ดังรูป

      ↑
      2 |    •
        |   ╱ ╲
        |  ╱   ╲
    ────┼─╱─────╲─→
   -√2  0      √2

ขั้นตอนที่ 3: วิเคราะห์เซต B

แทน z = x + yi ในเงื่อนไขของ B จะได้: y \geq 0 ได้เป็นบริเวณเหนือแกน x

ขั้นตอนที่ 4: หาภาคตัด A ∩ B

เนื่องจาก A \cap B คือพื้นที่ที่ต้องกับกิน จะได้:

    \[y \leq -x^2 + 2 \text{ และ } y \geq 0\]

ซึ่งจะหาพื้นที่ใต้อินทิกรัล y = -x^2 + 2

จะอินทิกรัลจาก -\sqrt{2} ถึง \sqrt{2} กึ่งใช้ แต่เนื่องจากพื้นที่สมมาตรข้างขวา จะหาพื้นที่จาก 0 ถึง \sqrt{2} แล้วคูณ 2

ขั้นตอนที่ 5: คำนวณพื้นที่

จะได้พื้นที่จาก 0 ถึง \sqrt{2} = \int_0^{\sqrt{2}} -x^2 + 2 , dx = -\frac{x^3}{3} + 2x \Big|_0^{\sqrt{2}}

    \[= \left(-\frac{(\sqrt{2})^3}{3} + 2\sqrt{2}\right) - 0\]

    \[= -\frac{2\sqrt{2}}{3} + 2\sqrt{2} = \frac{-2\sqrt{2} + 6\sqrt{2}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{3}\]

ดังนั้น พื้นที่แสงอา = 2 \times \frac{4\sqrt{2}}{3} = \frac{8\sqrt{2}}{3}

การตรวจสอบ

  • เซต A: พื้นที่ใต้พาราโบลา y = -x^2 + 2
  • เซต B: ครึ่งระนาบบน y \geq 0
  • A \cap B: ส่วนของพาราโบลาที่อยู่เหนือแกน x

พื้นที่มีขอบเขต:

  • แกน x จาก x = -\sqrt{2} ถึง x = \sqrt{2} (ด้านล่าง)
  • พาราโบลา y = -x^2 + 2 (ด้านบน)

    \[\boxed{\text{พื้นที่} = \frac{8\sqrt{2}}{3} \text{ ตารางหน่วย}}\]

คำตอบ: ตัวเลือกที่ 1

Discover more from KruJakkrapong 's Blog

Subscribe to get the latest posts sent to your email.

Leave a Reply