แก้โจทย์อนุกรมจาก9วิชาสามัญ
9 วิชาสามัญ

EP. 19 แก้โจทย์คณิตศาสตร์ เรื่อง อนุกรมในข้อสอบ 9 วิชาสามัญ ปี 55-57

Written by on

วิธีทำ:

แยกเป็น 2 ส่วน:

ส่วนที่ 1: พจน์ที่มีตัวห้อยเป็นเลขคี่ (k = 1, 3, 5, …, 39)

  • a_1 = 1, a_3 = 3, a_5 = 5, ..., a_{39} = 39
  • ผลรวม = 1 + 3 + 5 + ... + 39
  • มีจำนวน 20 พจน์ ผลรวมของเลขคี่ 20 ตัวแรก = 20^2 = 400

ส่วนที่ 2: พจน์ที่มีตัวห้อยเป็นเลขคู่ (k = 2, 4, 6, …, 40)

  • a_2 = 2(2) = 4, a_4 = 2(4) = 8, a_6 = 2(6) = 12, ..., a_{40} = 2(40) = 80
  • ผลรวม = 4 + 8 + 12 + ... + 80 = 2(2 + 4 + 6 + ... + 40)
  • = 2 \times 2(1 + 2 + 3 + ... + 20) = 4 \times \frac{20 \times 21}{2} = 4 \times 210 = 840

ผลรวมทั้งหมด = 400 + 840 = 1240

คำตอบคือ ข้อ 4. 1240

วิธีทำ:

จากสูตรที่กำหนด:

  • a_n = \frac{n}{1+3+5+\cdots+(2n-1)}
  • b_n = \frac{n}{2+4+6+\cdots+2n}

ขั้นตอนที่ 1: วิเคราะห์ a_n

  • ตัวส่วน = 1+3+5+\cdots+(2n-1) = ผลรวมเลขคี่ n ตัวแรก = n^2
  • ดังนั้น a_n = \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n}

ขั้นตอนที่ 2: วิเคราะห์ b_n

  • ตัวส่วน = 2+4+6+\cdots+2n = 2(1+2+3+\cdots+n) = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)
  • ดังนั้น b_n = \frac{n}{n(n+1)} = \frac{1}{n+1}

ขั้นตอนที่ 3: คำนวณ a_n - b_n

    \[a_n - b_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{(n+1) - n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}\]

ขั้นตอนที่ 4: หาผลรวมอนันต์

    \[\sum_{n=1}^{\infty} (a_n - b_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)\]

นี่คือ Telescoping Series:

    \[= \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \cdots\]

    \[= 1 - \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 1 - 0 = 1\]

คำตอบ: ข้อ 3. มีค่าเท่ากับ 1

วิธีทำ:

ปัญหานี้ต้องหาผลรวมของจำนวนเต็มบวก n ตัวแรกที่ 5 หารไม่ลงตัว

ขั้นตอนที่ 1: วิเคราะห์รูปแบบ จำนวนที่ 5 หารไม่ลงตัว คือ: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, …

สังเกตว่าในทุก ๆ 5 จำนวนติดต่อกัน จะมี 4 จำนวนที่ 5 หารไม่ลงตัว:

  • กลุ่มที่ 1 (1-5): 1, 2, 3, 4
  • กลุ่มที่ 2 (6-10): 6, 7, 8, 9
  • กลุ่มที่ 3 (11-15): 11, 12, 13, 14

ขั้นตอนที่ 2: หาสูตร ผลรวมของแต่ละกลุ่ม:

  • กลุ่มที่ k: ผลรวม = 20k – 10

สำหรับ n = 4k (k กลุ่มเต็ม):

    \[S_n = \sum_{i=1}^{k} (20i - 10) = 20\sum_{i=1}^{k} i - 10k\]

    \[= 20 \cdot \frac{k(k+1)}{2} - 10k = 10k(k+1) - 10k = 10k^2\]

ขั้นตอนที่ 3: แก้สมการ ต้องการ S_n = 9000

เนื่องจาก n = 4k และ S_n = 10k^2:

    \[10k^2 = 9000\]

    \[k^2 = 900\]

    \[k = 30\]

ดังนั้น n = 4k = 4 \times 30 = 120

การตรวจสอบ: S_{120} = 1+2+3+4+6+7+8+9+\cdots+149 = 9000 ✓

คำตอบคือ ข้อ 3. 120

แก้โจทย์ลำดับเรขาคณิตและอนุกรมอนันต์

โจทย์

ถ้า a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots เป็นลำดับเรขาคณิต
โดยที่ a_1 = 96 และ a_4 = 12

แล้ว \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n เท่ากับข้อใด

ตัวเลือก:

  1. 120
  2. 128
  3. 144
  4. 192
  5. 288

วิธีทำ

ขั้นตอนที่ 1: หาอัตราส่วนร่วม (r)

ในลำดับเรขาคณิต: a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

จาก a_4 = a_1 \cdot r^3

แทนค่า: 12 = 96 \cdot r^3

r^3 = \frac{12}{96} = \frac{1}{8}

r = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}

ขั้นตอนที่ 2: ตรวจสอบ

a_1 = 96
a_2 = 96 \times \frac{1}{2} = 48
a_3 = 48 \times \frac{1}{2} = 24
a_4 = 24 \times \frac{1}{2} = 12 ✓

ขั้นตอนที่ 3: หาผลรวมอนุกรมอนันต์

สำหรับอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ที่ |r| < 1:

    \[S_{\infty} = \frac{a_1}{1-r}\]

เนื่องจาก r = \frac{1}{2} และ \left|\frac{1}{2}\right| < 1

    \[S_{\infty} = \frac{96}{1-\frac{1}{2}} = \frac{96}{\frac{1}{2}} = 96 \times 2 = 192\]

คำตอบ

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n = 192

ตัวเลือกที่ 4

Discover more from KruJakkrapong 's Blog

Subscribe to get the latest posts sent to your email.

Leave a Reply