ไม่มีหมวดหมู่

EP.2 เฉลยแคลคูลัส ข้อ 6-10 (การหาอนุพันธ์โดยกฎลูกโซ่)

Written by จักรพงษ์ แผ่นทอง on ธันวาคม 23, 2025

ข้อ 6

โจทย์:

$f(x)=\tan\left(\frac{x}{x-2}\right)$

วิธีทำ:

ใช้กฎลูกโซ่ (Chain Rule) โดยมอง $\frac{x}{x-2}$ เป็น $u$ :

$\frac{d}{dx}\tan(u) = \sec^2(u) \cdot \frac{du}{dx}$

หาอนุพันธ์ของไส้ใน $u = \frac{x}{x-2}$ โดยใช้กฎผลหาร:

$\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{x-2}\right) = \frac{(x-2)(1) - x(1)}{(x-2)^2}$

$= \frac{x - 2 - x}{(x-2)^2} = \frac{-2}{(x-2)^2}$

แทนค่ากลับไปในสูตรหลัก:

$f'(x) = \sec^2\left(\frac{x}{x-2}\right) \cdot \left( \frac{-2}{(x-2)^2} \right)$

ตอบ:

$f'(x) = -\frac{2}{(x-2)^2}\sec^2\left(\frac{x}{x-2}\right)$

ข้อ 7

โจทย์:

$f(x)=\csc^{3}x$

(หมายเหตุ: โจทย์ใช้ $cosec$ ซึ่งคือฟังก์ชันเดียวกันกับ $\csc$ )

วิธีทำ:

จัดรูปเป็นเลขยกกำลังทั้งก้อน:

$f(x) = (\csc x)^3$

ใช้กฎลูกโซ่แบบ $u^n$ :

$f'(x) = 3(\csc x)^{3-1} \cdot \frac{d}{dx}(\csc x)$

สูตรอนุพันธ์ของ $\csc x$ คือ $-\csc x \cot x$ :

$f'(x) = 3(\csc x)^2 \cdot (-\csc x \cot x)$

คูณเข้าด้วยกัน ( $\csc^2 x \cdot \csc x = \csc^3 x$ ):

$f'(x) = -3 \csc^3 x \cot x$

ตอบ:

$f'(x) = -3 \csc^3 x \cot x$

ข้อ 8

โจทย์:

$f(x)=x^{2}\cot(3x+1)$

วิธีทำ:

ใช้กฎผลคูณ (Product Rule): $(uv)' = uv' + vu'$

ให้ $u = x^2$ และ $v = \cot(3x+1)$

หาอนุพันธ์ย่อย:

$u' = 2x$

$v' = -\csc^2(3x+1) \cdot \frac{d}{dx}(3x+1) = -3\csc^2(3x+1)$

แทนค่าลงในสูตร:

$f'(x) = x^2 \left( -3\csc^2(3x+1) \right) + \cot(3x+1)(2x)$

จัดรูป:

$f'(x) = -3x^2 \csc^2(3x+1) + 2x \cot(3x+1)$

ดึงตัวร่วม $x$ :

ตอบ:

$f'(x) = x \left[ 2\cot(3x+1) - 3x\csc^2(3x+1) \right]$

ข้อ 9

โจทย์:

$y=\frac{\cos(x^{2})}{5-3x}$

วิธีทำ:

ใช้กฎผลหาร (Quotient Rule): $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{v u' - u v'}{v^2}$

ให้ $u = \cos(x^2)$ จะได้ $u' = -\sin(x^2) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)$

ให้ $v = 5-3x$ จะได้ $v' = -3$

แทนค่า:

$y' = \frac{(5-3x)(-2x\sin(x^2)) - \cos(x^2)(-3)}{(5-3x)^2}$

จัดรูปตัวเศษ:

$y' = \frac{-2x(5-3x)\sin(x^2) + 3\cos(x^2)}{(5-3x)^2}$

$y' = \frac{(6x^2 - 10x)\sin(x^2) + 3\cos(x^2)}{(5-3x)^2}$

ตอบ:

$y' = \frac{3\cos(x^2) - 2x(5-3x)\sin(x^2)}{(5-3x)^2}$

ข้อ 10

โจทย์:

$f(x)=e^{\sec^{2}x}$

วิธีทำ:

ใช้กฎลูกโซ่สำหรับฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล: $\frac{d}{dx}e^u = e^u \cdot u'$

ให้ $u = \sec^2 x$

หา $u'$ (ใช้กฎลูกโซ่ซ้อนอีกครั้ง):

$u = (\sec x)^2$

$u' = 2(\sec x)^1 \cdot \frac{d}{dx}(\sec x)$

$u' = 2\sec x \cdot (\sec x \tan x)$

$u' = 2\sec^2 x \tan x$

แทนค่ากลับไปที่สูตรหลัก:

$f'(x) = e^{\sec^2 x} \cdot (2\sec^2 x \tan x)$

ตอบ:

$f'(x) = 2e^{\sec^2 x} \sec^2 x \tan x$

Related

Discover more from KruJakkrapong 's Blog

Subscribe to get the latest posts sent to your email.

Leave a ReplyCancel reply