เฉลยลำดับและอนุกรม O-NET 50
O-Net

EP.21 แก้โจทย์คณิต O-NET เรื่อง ลำดับและอนุกรม ปี 50

Written by on

วิธีทำ

ขั้นตอนที่ 1: หาผลต่างร่วม (d) ของลำดับเลขคณิต

จากลำดับเลขคณิต: a_1 = -\frac{1}{20}, a_2 = -\frac{1}{30}, a_3 = -\frac{1}{60}, \ldots

ผลต่างร่วม d = a_2 - a_1:

    \[d = -\frac{1}{30} - \left(-\frac{1}{20}\right) = -\frac{1}{30} + \frac{1}{20}\]

หาตัวส่วนร่วม: \text{LCM}(30, 20) = 60

    \[d = -\frac{2}{60} + \frac{3}{60} = \frac{1}{60}\]

ขั้นตอนที่ 2: ตรวจสอบ

ตรวจสอบด้วย a_3:

    \[a_3 = a_2 + d = -\frac{1}{30} + \frac{1}{60} = -\frac{2}{60} + \frac{1}{60} = -\frac{1}{60}\]

✓

ขั้นตอนที่ 3: หาสูตรพจน์ทั่วไป

สูตรลำดับเลขคณิต: a_n = a_1 + (n-1)d

    \[a_n = -\frac{1}{20} + (n-1) \cdot \frac{1}{60}\]

    \[a_n = -\frac{3}{60} + \frac{n-1}{60} = \frac{-(3) + (n-1)}{60} = \frac{n-4}{60}\]

ขั้นตอนที่ 4: ตรวจสอบสูตร

  • a_1 = \frac{1-4}{60} = \frac{-3}{60} = -\frac{1}{20} ✓
  • a_2 = \frac{2-4}{60} = \frac{-2}{60} = -\frac{1}{30} ✓
  • a_3 = \frac{3-4}{60} = \frac{-1}{60} = -\frac{1}{60} ✓

ขั้นตอนที่ 5: หาผลรวม 31 พจน์แรก

สูตรผลรวมลำดับเลขคณิต: S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]

    \[S_{31} = \frac{31}{2}\left[2 \cdot \left(-\frac{1}{20}\right) + (31-1) \cdot \frac{1}{60}\right]\]

    \[= \frac{31}{2}\left[-\frac{1}{10} + 30 \cdot \frac{1}{60}\right]\]

    \[= \frac{31}{2}\left[-\frac{1}{10} + \frac{1}{2}\right]\]

    \[= \frac{31}{2}\left[-\frac{1}{10} + \frac{5}{10}\right] = \frac{31}{2} \cdot \frac{4}{10}\]

    \[= \frac{31 \times 4}{2 \times 10} = \frac{124}{20} = \frac{31}{5}\]

ขั้นตอนที่ 6: ใช้สูตรอื่น

หรือใช้สูตร: S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)

หา a_{31} ก่อน:

    \[a_{31} = \frac{31-4}{60} = \frac{27}{60} = \frac{9}{20}\]

ตอบ ข้อ 3.

ข้อสอบ O-NET ปี 50

วิธีทำ

ขั้นตอนที่ 1: วิเคราะห์ลำดับ

ลำดับที่กำหนด: 1, -2, 4, -8, \ldots, 256

  • พจน์แรก: a_1 = 1
  • อัตราส่วนร่วม: r = \frac{-2}{1} = -2

ตรวจสอบ: \frac{4}{-2} = -2 และ \frac{-8}{4} = -2 ✓

ขั้นตอนที่ 2: หาจำนวนพจน์ทั้งหมด

พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต: a_n = a_1 \cdot r^{n-1} = 1 \cdot (-2)^{n-1} = (-2)^{n-1}

หาว่า 256 เป็นพจน์ที่เท่าใด:

    \[(-2)^{n-1} = 256\]

เนื่องจาก 256 = 2^8 และ 256 > 0 ดังนั้นต้องมี n-1 เป็นเลขคู่

ลองคำนวณ:

  • (-2)^0 = 1
  • (-2)^1 = -2
  • (-2)^2 = 4
  • (-2)^3 = -8
  • (-2)^4 = 16
  • (-2)^5 = -32
  • (-2)^6 = 64
  • (-2)^7 = -128
  • (-2)^8 = 256 ✓

ดังนั้น n-1 = 8, ซึ่งหมายความว่า n = 9

มีทั้งหมด 9 พจน์

ขั้นตอนที่ 3: คำนวณผลรวม

สูตรผลรวมอนุกรมเรขาคณิต: S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}

โดยที่:

  • a_1 = 1
  • r = -2
  • n = 9

    \[S_9 = 1 \cdot \frac{1 - (-2)^9}{1 - (-2)} = \frac{1 - (-2)^9}{1 + 2} = \frac{1 - (-2)^9}{3}\]

คำนวณ (-2)^9:

    \[(-2)^9 = -2^9 = -512\]

ดังนั้น:

    \[S_9 = \frac{1 - (-512)}{3} = \frac{1 + 512}{3} = \frac{513}{3} = 171\]

ขั้นตอนที่ 4: ตรวจสอบโดยการบวกตรง

    \[S = 1 + (-2) + 4 + (-8) + 16 + (-32) + 64 + (-128) + 256\]

จัดกลุ่มเป็นคู่:

    \[S = (1 - 2) + (4 - 8) + (16 - 32) + (64 - 128) + 256\]

    \[= (-1) + (-4) + (-16) + (-64) + 256\]

    \[= -85 + 256 = 171\]

ขั้นตอนที่ 5: ตรวจสอบอีกวิธี

ใช้สูตรผลรวมแบบจับคู่: พจน์คี่: 1 + 4 + 16 + 64 + 256 = 341 พจน์คู่: -2 + (-8) + (-32) + (-128) = -170

ผลรวมรวม: 341 + (-170) = 171 ✓

ข้อสอบ O-NET ปี 50

โจทย์

กำหนดให้ S_n เป็นผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต ซึ่งมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 2

ถ้า S_{10} - S_8 = 32 แล้ว พจน์ที่ 9 ของอนุกรมนี้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

ตัวเลือก:

  1. \frac{16}{3}
  2. \frac{20}{3}
  3. \frac{26}{3}
  4. \frac{32}{3}

วิธีทำ

ขั้นตอนที่ 1: เข้าใจความหมายของ S_{10} - S_8

S_{10} = ผลบวก 10 พจน์แรก S_8 = ผลบวก 8 พจน์แรก

ดังนั้น:

    \[S_{10} - S_8 = a_9 + a_{10} = 32\]

ขั้นตอนที่ 2: ใช้สูตรพจน์ของอนุกรมเรขาคณิต

พจน์ทั่วไป: a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

โดยที่ r = 2 (อัตราส่วนร่วม)

ดังนั้น:

  • a_9 = a_1 \cdot 2^8 = a_1 \cdot 256
  • a_{10} = a_1 \cdot 2^9 = a_1 \cdot 512

ขั้นตอนที่ 3: ตั้งสมการ

    \[a_9 + a_{10} = 32\]

    \[a_1 \cdot 256 + a_1 \cdot 512 = 32\]

    \[a_1(256 + 512) = 32\]

    \[a_1 \cdot 768 = 32\]

    \[a_1 = \frac{32}{768} = \frac{1}{24}\]

ขั้นตอนที่ 4: หาพจน์ที่ 9

    \[a_9 = a_1 \cdot r^{9-1} = a_1 \cdot 2^8\]

    \[a_9 = \frac{1}{24} \cdot 256 = \frac{256}{24}\]

ขั้นตอนที่ 5: ทำให้เศษส่วนอยู่ในรูปอย่างต่ำ

    \[a_9 = \frac{256}{24}\]

หา GCD ของ 256 และ 24:

  • 256 = 2^8
  • 24 = 2^3 \cdot 3
  • GCD = 2^3 = 8

    \[a_9 = \frac{256 \div 8}{24 \div 8} = \frac{32}{3}\]

ขั้นตอนที่ 6: ตรวจสอบ

ตรวจสอบด้วยการหา a_{10}:

    \[a_{10} = \frac{1}{24} \cdot 2^9 = \frac{1}{24} \cdot 512 = \frac{512}{24} = \frac{64}{3}\]

ตรวจสอบ: a_9 + a_{10} = \frac{32}{3} + \frac{64}{3} = \frac{96}{3} = 32 ✓

ขั้นตอนที่ 7: ตรวจสอบด้วยวิธีอื่น

ใช้สูตรผลรวมอนุกรมเรขาคณิต: S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}

    \[S_{10} = \frac{1}{24} \cdot \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} = \frac{1}{24} \cdot (1024 - 1) = \frac{1023}{24}\]

    \[S_8 = \frac{1}{24} \cdot \frac{2^8 - 1}{2 - 1} = \frac{1}{24} \cdot (256 - 1) = \frac{255}{24}\]

    \[S_{10} - S_8 = \frac{1023}{24} - \frac{255}{24} = \frac{768}{24} = 32\]

✓

คำตอบ

พจน์ที่ 9 ของอนุกรมเรขาคณิตนี้เท่ากับ \frac{32}{3}

ตัวเลือกที่ 4: \frac{32}{3}

แก้โจทย์หารูปแบบของตัวเลข

โจทย์

จากรูปแบบต่อไปนี้:

  7       14       21       77
1 2 4   2 4 8   3 6 12   a b c

โดยการให้หาดูผลแบบอุปนัย 2a - b + c มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

ตัวเลือก:

  1. 11
  2. 22
  3. 33
  4. 44

วิธีทำ

ขั้นตอนที่ 1: วิเคราะห์รูปแบบของแต่ละกลุ่ม

กลุ่มที่ 1:

  • ล่าง: 1, 2, 4
  • บน: 7
  • ความสัมพันธ์: 1 + 2 + 4 = 7 ✓

กลุ่มที่ 2:

  • ล่าง: 2, 4, 8
  • บน: 14
  • ความสัมพันธ์: 2 + 4 + 8 = 14 ✓

กลุ่มที่ 3:

  • ล่าง: 3, 6, 12
  • บน: 21
  • ความสัมพันธ์: 3 + 6 + 12 = 21 ✓

ขั้นตอนที่ 2: วิเคราะห์รูปแบบของตัวเลขล่าง

กลุ่มที่ 1: 1, 2, 4

  • รูปแบบ: 1, 1 \times 2, 1 \times 4
  • หรือ: 1, 2^1, 2^2

กลุ่มที่ 2: 2, 4, 8

  • รูปแบบ: 2, 2 \times 2, 2 \times 4
  • หรือ: 2, 2^2, 2^3

กลุ่มที่ 3: 3, 6, 12

  • รูปแบบ: 3, 3 \times 2, 3 \times 4
  • หรือ: 3, 3 \times 2^1, 3 \times 2^2

ขั้นตอนที่ 3: หารูปแบบทั่วไป

สำหรับกลุ่มที่ n:

  • ตัวเลขแรก: n
  • ตัวเลขที่สอง: n\times 2
  • ตัวเลขที่สาม: n \times 4
  • ผลรวม: n + 2n + 4n = 7n

ขั้นตอนที่ 4: หากลุ่มที่ 4

จากรูปแบบที่พบ และเนื่องจากตัวเลขบนเป็น 77:

    \[7n = 77\]

    \[n = 11\]

ดังนั้นกลุ่มที่ 4:

  • a = 11
  • b = 11 \times 2 = 22
  • c = 11 \times 4 = 44

ขั้นตอนที่ 5: ตรวจสอบ

ตรวจสอบ: a + b + c = 11 + 22 + 44 = 77 ✓

ขั้นตอนที่ 6: คำนวณ 2a - b + c

    \[2a - b + c = 2(11) - 22 + 44\]

    \[= 22 - 22 + 44\]

    \[= 44\]

ขั้นตอนที่ 7: ตรวจสอบรูปแบบอื่นที่เป็นไปได้

วิธีอื่น: อาจมองว่าเป็นลำดับต่อเนื่อง

  • กลุ่ม 1: 1, 2, 4 (เริ่มจาก 1)
  • กลุ่ม 2: 2, 4, 8 (เริ่มจาก 2)
  • กลุ่ม 3: 3, 6, 12 (เริ่มจาก 3)
  • กลุ่ม 4: ?, ?, ? (เริ่มจาก ?)

จากตัวเลขบน: 7, 14, 21, 77

  • 7 = 7 × 1
  • 14 = 7 × 2
  • 21 = 7 × 3
  • 77 = 7 × 11

ดังนั้นกลุ่มที่ 4 ควรเริ่มจาก 11:

  • a = 11
  • b = 11 \times 2 = 22
  • c = 11 \times 4 = 44

ผลลัพธ์เดียวกัน!

คำตอบ

จากการวิเคราะห์รูปแบบ:

  • a = 11
  • b = 22
  • c = 44

ดังนั้น 2a - b + c = 2(11) - 22 + 44 = 44

ตัวเลือกที่ 4: 44

แก้โจทย์ผลรวมลำดับเลขคณิต

โจทย์

ถ้า a_1, a_2, a_3, \ldots เป็นลำดับเลขคณิต ซึ่ง

a_2 + a_3 + \ldots + a_9 = 100 แล้ว

S_{10}=a_1 + a_2 + \ldots + a_{10} มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

ตัวเลือก:

  1. 120
  2. 125
  3. 130
  4. 135

วิธีทำ

ขั้นตอนที่ 1: ใช้สูตรผลรวมลำดับเลขคณิต

สำหรับลำดับเลขคณิต a_1, a_2, a_3, \ldots ที่มีผลต่างร่วม d:

    \[a_n = a_1 + (n-1)d\]

ผลรวม n พจน์แรก: S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]

ขั้นตอนที่ 2: หาความสัมพันธ์จาก a_2 + a_3 + \ldots + a_9 = 100

    \[a_2 + a_3 + \ldots + a_9 = S_9 - a_1\]

โดยที่:

    \[S_9 = \frac{9}{2}[2a_1 + 8d] = \frac{9}{2} \cdot 2(a_1 + 4d) = 9(a_1 + 4d)\]

ดังนั้น:

    \[S_9 - a_1 = 9(a_1 + 4d) - a_1 = 9a_1 + 36d - a_1 = 8a_1 + 36d = 100\]

ขั้นตอนที่ 3: ใช้สมบัติของลำดับเลขคณิต

ในลำดับเลขคณิต พจน์ที่อยู่ตรงกลางของกลุ่มพจน์จะเป็นค่าเฉลี่ยของกลุ่มนั้น

สำหรับ a_2 + a_3 + \ldots + a_9 (8 พจน์):

  • พจน์กลาง: a_5 และ a_6
  • ค่าเฉลี่ย: \frac{a_5 + a_6}{2}

ผลรวม: 8 \times \frac{a_5 + a_6}{2} = 4(a_5 + a_6) = 100

ดังนั้น: a_5 + a_6 = 25

ขั้นตอนที่ 4: หาความสัมพันธ์ในลำดับเลขคณิต

ในลำดับเลขคณิต:

    \[a_5 = a_1 + 4d\]

    \[a_6 = a_1 + 5d\]

ดังนั้น:

    \[a_5 + a_6 = (a_1 + 4d) + (a_1 + 5d) = 2a_1 + 9d = 25\]

ขั้นตอนที่ 5: หา S_{10}

    \[S_{10} = \frac{10}{2}[2a_1 + 9d] = 5[2a_1 + 9d] = 5 \times 2[a_1 + \frac{9d}{2}]\]

    \[= 10[a_1 + 4.5d]\]

จากขั้นตอนที่ 4: 2a_1 + 9d = 25

ดังนั้น: a_1 + \frac{9d}{2} = \frac{25}{2} = 12.5

    \[S_{10} = 10 \times 12.5 = 125\]

ขั้นตอนที่ 6: ตรวจสอบด้วยวิธีอื่น

ใช้สมบัติ: S_{10} = a_1 + (S_9 - a_1) + a_{10}

เรารู้ว่า S_9 - a_1 = 100

และ a_{10} = a_1 + 9d

จาก 2a_1 + 9d = 25 เราได้ a_1 + 9d = 25 - a_1

ดังนั้น: a_{10} = 25 - a_1

S_{10} = a_1 + 100 + (25 - a_1) = 125

ขั้นตอนที่ 7: ตรวจสอบอีกวิธี

ใช้สูตรอื่น: S_{10} = \frac{10}{2}(a_1 + a_{10})

เราได้ a_1 + a_{10} = a_1 + (25 - a_1) = 25

ดังนั้น: S_{10} = \frac{10}{2} \times 25 = 5 \times 25 = 125

คำตอบ

S_{10} = a_1 + a_2 + \ldots + a_{10} = 125

ตัวเลือกที่ 2: 125

วิเคราะห์ลำดับที่เกิดจากลำดับเรขาคณิต

โจทย์

กำหนดให้ a_1, a_2, a_3, \ldots เป็นลำดับเรขาคณิต

พิจารณาลำดับดังต่อไปนี้:

(ก) a_1 + a_3, a_2 + a_4, a_3 + a_5, \ldots

(ข) a_1a_2, a_2a_3, a_3a_4, \ldots

(ค) \frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3}, \ldots

ข้อใดต่อไปนี้ถูก:

  1. ทั้งสามลำดับเป็นลำดับเรขาคณิต
  2. มีหนึ่งลำดับไม่เป็นลำดับเรขาคณิต
  3. มีสองลำดับไม่เป็นลำดับเรขาคณิต
  4. ทั้งสามลำดับไม่เป็นลำดับเรขาคณิต

วิธีทำ

ตั้งค่าเริ่มต้น

ให้ลำดับเรขาคณิตเดิม: a_1, a_2, a_3, \ldots

โดยที่ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} และ r เป็นอัตราส่วนร่วม

วิเคราะห์ลำดับ (ก): a_1 + a_3, a_2 + a_4, a_3 + a_5, \ldots

พจน์ทั่วไป: b_n = a_n + a_{n+2}

    \[b_n = a_1r^{n-1} + a_1r^{n+1} = a_1r^{n-1}(1 + r^2)\]

ตรวจสอบอัตราส่วน:

    \[\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{a_1r^n(1 + r^2)}{a_1r^{n-1}(1 + r^2)} = r\]

เนื่องจากอัตราส่วนคงที่ ดังนั้น ลำดับ (ก) เป็นลำดับเรขาคณิต

วิเคราะห์ลำดับ (ข): a_1a_2, a_2a_3, a_3a_4, \ldots

พจน์ทั่วไป: c_n = a_n \cdot a_{n+1}

    \[c_n = (a_1r^{n-1})(a_1r^n) = a_1^2r^{2n-1}\]

ตรวจสอบอัตราส่วน:

    \[\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{a_1^2r^{2(n+1)-1}}{a_1^2r^{2n-1}} = \frac{a_1^2r^{2n+1}}{a_1^2r^{2n-1}} = r^2\]

เนื่องจากอัตราส่วนคงที่ ดังนั้น ลำดับ (ข) เป็นลำดับเรขาคณิต

วิเคราะห์ลำดับ (ค): \frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3}, \ldots

พจน์ทั่วไป: d_n = \frac{1}{a_n}

    \[d_n = \frac{1}{a_1r^{n-1}} = \frac{1}{a_1} \cdot \frac{1}{r^{n-1}} = \frac{1}{a_1} \cdot \left(\frac{1}{r}\right)^{n-1}\]

ตรวจสอบอัตราส่วน:

    \[\frac{d_{n+1}}{d_n} = \frac{\frac{1}{a_1} \cdot \left(\frac{1}{r}\right)^n}{\frac{1}{a_1} \cdot \left(\frac{1}{r}\right)^{n-1}} = \frac{1}{r}\]

เนื่องจากอัตราส่วนคงที่ ดังนั้น ลำดับ (ค) เป็นลำดับเรขาคณิต

ตรวจสอบด้วยตัวอย่าง

ให้ a_1 = 2, r = 3 จะได้ลำดับ: 2, 6, 18, 54, 162, \ldots

ลำดับ (ก): a_1 + a_3, a_2 + a_4, a_3 + a_5, \ldots

  • 2 + 18 = 20
  • 6 + 54 = 60
  • 18 + 162 = 180
  • อัตราส่วน: \frac{60}{20} = 3, \frac{180}{60} = 3 ✓

ลำดับ (ข): a_1a_2, a_2a_3, a_3a_4, \ldots

  • 2 \times 6 = 12
  • 6 \times 18 = 108
  • 18 \times 54 = 972
  • อัตราส่วน: \frac{108}{12} = 9, \frac{972}{108} = 9 ✓ (= r^2 = 3^2)

ลำดับ (ค): \frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3}, \ldots

  • \frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{18}, \ldots
  • อัตราส่วน: \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3}, \frac{\frac{1}{18}}{\frac{1}{6}} = \frac{1}{3} ✓ (= \frac{1}{r})

สรุป

ทั้งสามลำดับ (ก), (ข), และ (ค) ล้วนเป็นลำดับเรขาคณิต:

  • ลำดับ (ก) มีอัตราส่วนร่วม = r
  • ลำดับ (ข) มีอัตราส่วนร่วม = r^2
  • ลำดับ (ค) มีอัตราส่วนร่วม = \frac{1}{r}

คำตอบ

ตัวเลือกที่ 1: ทั้งสามลำดับเป็นลำดับเรขาคณิต

Discover more from KruJakkrapong 's Blog

Subscribe to get the latest posts sent to your email.

Leave a Reply