EP. 23 อนุกรม เรขาคณิต โจทย์ พร้อม เฉลยโควตา มช. ปี 52

ค่าของ $x$ ที่ทำให้ $x + x^2 + x^3 + \ldots + x^n + \ldots = 0.\overline{18}$ คือข้อใด

$1. \frac{2}{13} \quad\quad 2. \frac{1}{6} \quad\quad 3. -4 \quad\quad 4. \frac{-9}{2}$

วิธีทำ

จากโจทย์: $x + x^2 + x^3 + \ldots + x^n + \ldots = 0.\overline{18}$
ขั้นแรก แปลงทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วน

ให้ $y = 0.\overline{18} = 0.181818\ldots$

$100y = 18.181818\ldots$

$100y - y = 18.181818\ldots - 0.181818\ldots$

$99y = 18$

$y = \frac{18}{99} = \frac{2}{11}$

ดังนั้น

$x + x^2 + x^3 + \ldots = \frac{2}{11}$

การหาผลรวมอนุกรมเรขาคณิตอนันต์
นี่คืออนุกรมเรขาคณิตอนันต์ที่มี:

พจน์แรก $a = x$
อัตราส่วนร่วม $r = x$
สำหรับ $|r| < 1$ ผลรวม $= \frac{a}{1-r}$
$\therefore \frac{x}{1-x} = \frac{2}{11}$
การแก้สมการ
$x = \frac{2}{11}(1-x)$
$x = \frac{2}{11} - \frac{2x}{11}$
$x + \frac{2x}{11} = \frac{2}{11}$
$\frac{11x + 2x}{11} = \frac{2}{11}$
$\frac{13x}{11} = \frac{2}{11}$
$13x = 2$
$x = \frac{2}{13}$

โจทย์โควตา มช. คณิต ปี 49

จากโจทย์: ให้ยาทุก 6 ชั่วโมงเป็นเวลา 3 วัน และปริมาณยาที่ขับออกทางปัสสาวะเป็นลำดับเรขาคณิต $0.01, 0.02, 0.04, \ldots$ มิลลิกรัม

การวิเคราะห์โจทย์

ระยะเวลา 3 วัน = $3 \times 24 = 72$ ชั่วโมง
ให้ยาทุก 6 ชั่วโมง จำนวนครั้งที่ให้ยา = $\frac{72}{6} = 12$ ครั้ง
ลำดับเรขาคณิตที่กำหนด: $0.01, 0.02, 0.04, \ldots$

หาพจน์ของลำดับเรขาคณิต

พจน์แรก: $a_1 = 0.01$

อัตราส่วนร่วม: $r = \frac{0.02}{0.01} = 2$

การคำนวณผลรวม

ผลรวมของลำดับเรขาคณิต $n$ พจน์: $S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}$

สำหรับ $n = 12$ พจน์:

$S_{12} = \frac{0.01(2^{12} - 1)}{2 - 1}$

$S_{12} = 0.01(2^{12} - 1)$

$2^{12} = 4096$

$S_{12} = 0.01(4096 - 1)$

$S_{12} = 0.01 \times 4095$

$S_{12} = 40.95$ มิลลิกรัม

ปริมาณยาที่ขับออกมาทางปัสสาวะที่สามารถวัดได้จากการรับประทานยา 3 วัน คือ $40.95$ มิลลิกรัม

โจทย์โควตา มช. ปี 49

ถ้าพจน์ที่ 2 และ พจน์ที่ 7 ของลำดับเลขคณิต มีค่าเท่ากับ 10 และ 30 ตามลำดับแล้ว พจน์ที่ 21 ของลำดับนั้นคือข้อใด

ตัวเลือก:

วิธีทำ

ขั้นที่ 1: ทบทวนสูตรลำดับเลขคณิต
ในลำดับเลขคณิต พจน์ที่ n มีสูตร:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

โดยที่:

$a_1$ = พจน์แรก
$d$ = ผลต่างร่วม
$n$ = ลำดับของพจน์

ขั้นที่ 2: ตั้งสมการจากข้อมูลที่กำหนด
จากโจทย์ เรารู้ว่า:

พจน์ที่ 2 = 10
พจน์ที่ 7 = 30

แทนลงในสูตร:

สำหรับพจน์ที่ 2:

$a_2 = a_1 + (2-1)d = a_1 + d = 10 \quad\cdots(1)$

สำหรับพจน์ที่ 7:

$a_7 = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d = 30 \quad\cdots(2)$

ขั้นที่ 3: แก้หาผลต่างร่วม (d)
เอาสมการ (2) ลบสมการ (1):

$(a_1 + 6d) - (a_1 + d) = 30 - 10$

$a_1 + 6d - a_1 - d = 20$

$5d = 20$

$d = 4$

ขั้นที่ 4: แก้หาพจน์แรก ( $a_1$ )
แทนค่า $d = 4$ ลงในสมการ (1):

$a_1 + 4 = 10$

$a_1 = 10 - 4 = 6$

ขั้นที่ 5: ตรวจสอบคำตอบ
ตรวจสอบด้วยการแทนค่าที่หาได้:

สำหรับ $a_2$ :

$a_2 = a_1 + d = 6 + 4 = 10 \quad \checkmark$

สำหรับ $a_7$ :

$a_7 = a_1 + 6d = 6 + 6(4) = 6 + 24 = 30 \quad \checkmark$

ขั้นที่ 6: หาพจน์ที่ 21
ใช้สูตรหา $a_{21}$ :

$a_{21} = a_1 + (21-1)d$

$a_{21} = a_1 + 20d$

$a_{21} = 6 + 20(4)$

$a_{21} = 6 + 80$

$a_{21} = 86$

คำตอบ
คำตอบคือ ข้อ 3. 86

สูตรทั่วไปของลำดับนี้

$a_n = 6 + (n-1) \times 4 = 6 + 4n - 4 = 4n + 2$

ตรวจสอบ: $a_{21} = 4(21) + 2 = 84 + 2 = 86$ ✓
โจทย์ผลรวมอนุกรม – วิธีทำแบบละเอียด

โจทย์
จงหาผลรวมของอนุกรม

$\log 2 + \frac{1}{2}\log 4 + \frac{1}{4}\log 8 + \frac{1}{8}\log 16 + \frac{1}{16}\log 32 + \ldots$

ตัวเลือก:

$2\log 2$
$4\log 2$
$8\log 2$
หาค่าไม่ได้

วิธีทำ

ขั้นที่ 1: เขียนพจน์ทั่วไปของอนุกรม
สังเกตรูปแบบของแต่ละพจน์:

พจน์ที่ 1: $\log 2 = \frac{1}{1}\log 2^1$
พจน์ที่ 2: $\frac{1}{2}\log 4 = \frac{1}{2}\log 2^2$
พจน์ที่ 3: $\frac{1}{4}\log 8 = \frac{1}{4}\log 2^3$
พจน์ที่ 4: $\frac{1}{8}\log 16 = \frac{1}{8}\log 2^4$
พจน์ที่ 5: $\frac{1}{16}\log 32 = \frac{1}{16}\log 2^5$

ขั้นที่ 2: หาพจน์ทั่วไป
พจน์ที่ $n$ มีรูปแบบ:

$a_n = \frac{1}{2^{n-1}}\log 2^n$

ขั้นที่ 3: ใช้สมบัติของลอการิทึม
ใช้สมบัติ $\log a^b = b\log a$ :

$a_n = \frac{1}{2^{n-1}} \cdot n\log 2 = \frac{n\log 2}{2^{n-1}}$

ขั้นที่ 4: เขียนผลรวมอนุกรม
ผลรวมอนุกรมคือ:

$S = \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n\log 2}{2^{n-1}} = \log 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n-1}}$

ขั้นที่ 5: คำนวณ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n-1}}$
ให้

$T = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n-1}} = \sum_{n=1}^{\infty} n \cdot 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = 2\sum_{n=1}^{\infty} n \left(\frac{1}{2}\right)^n$

สำหรับอนุกรม $\sum_{n=1}^{\infty} nx^n$ เมื่อ $|x| < 1$ มีผลรวมเท่ากับ $\frac{x}{(1-x)^2}$

เมื่อ $x = \frac{1}{2}$ :

$\sum_{n=1}^{\infty} n \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{\frac{1}{2}}{(1-\frac{1}{2})^2} = \frac{\frac{1}{2}}{(\frac{1}{2})^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = 2$