Mathematics

EP.3 เฉลยแคลคูลัส ข้อ 11-15 (การหาอนุพันธ์โดยกฎลูกโซ่)

Written by จักรพงษ์ แผ่นทอง on ธันวาคม 23, 2025

ข้อ 11

โจทย์:

$f(x)=x^{e}+5^{x}-e^{x}$

วิธีทำ:

ข้อนี้ประกอบด้วยฟังก์ชัน 3 รูปแบบที่ต้องใช้สูตรต่างกัน:

$x^e$ : ใช้สูตรเลขยกกำลัง (Power Rule) $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ (เพราะ $e$ เป็นค่าคงที่)
$5^x$ : ใช้สูตรฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลฐาน $a$ (Exponential) $\frac{d}{dx}a^x = a^x \ln a$
$e^x$ : ใช้สูตร $\frac{d}{dx}e^x = e^x$

หาอนุพันธ์ทีละพจน์:

$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^e) + \frac{d}{dx}(5^x) - \frac{d}{dx}(e^x)$

$f'(x) = e x^{e-1} + 5^x \ln 5 - e^x$

ตอบ:

$f'(x) = e x^{e-1} + 5^x \ln 5 - e^x$

ข้อ 12

โจทย์:

$f(x)=\ln(\sin 5x)$

วิธีทำ:

ใช้กฎลูกโซ่สำหรับฟังก์ชันลอการิทึม: $\frac{d}{dx}\ln(u) = \frac{1}{u} \cdot u'$

ให้ $u = \sin 5x$

$f'(x) = \frac{1}{\sin 5x} \cdot \frac{d}{dx}(\sin 5x)$

หาอนุพันธ์ของไส้ใน $\sin 5x$ (ใช้กฎลูกโซ่อีกครั้ง):

$\frac{d}{dx}(\sin 5x) = \cos 5x \cdot \frac{d}{dx}(5x) = 5\cos 5x$

แทนค่ากลับ:

$f'(x) = \frac{1}{\sin 5x} \cdot (5\cos 5x)$

$f'(x) = 5 \frac{\cos 5x}{\sin 5x}$

จัดรูปโดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ $\frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \cot \theta$ :

ตอบ:

$f'(x) = 5 \cot 5x$

ข้อ 13

โจทย์:

$f(x)=\log_{3}(x^{2}+3x-5)$

วิธีทำ:

ใช้สูตรอนุพันธ์ของลอการิทึมฐานทั่วไป: $\frac{d}{dx}\log_a u = \frac{1}{u \ln a} \cdot u'$

ในที่นี้ $a = 3$ และ $u = x^2+3x-5$

$f'(x) = \frac{1}{(x^2+3x-5)\ln 3} \cdot \frac{d}{dx}(x^2+3x-5)$

หา $u'$ :

$u' = 2x+3$

แทนค่ากลับ:

ตอบ:

$f'(x) = \frac{2x+3}{(x^2+3x-5)\ln 3}$

ข้อ 14

โจทย์:

$f(x)=e^{x^{2}+1}\cos(3x+2)$

วิธีทำ:

ใช้กฎผลคูณ (Product Rule): $(uv)' = uv' + vu'$

ให้ $u = e^{x^2+1}$ และ $v = \cos(3x+2)$

หาอนุพันธ์ย่อย:

$u' = e^{x^2+1} \cdot \frac{d}{dx}(x^2+1) = e^{x^2+1}(2x)$
$v' = -\sin(3x+2) \cdot \frac{d}{dx}(3x+2) = -3\sin(3x+2)$

แทนค่าลงสูตรผลคูณ:

$f'(x) = e^{x^2+1}(-3\sin(3x+2)) + \cos(3x+2)(2xe^{x^2+1})$

ดึงตัวร่วม $e^{x^2+1}$ ออกมา:

$f'(x) = e^{x^2+1} \left[ -3\sin(3x+2) + 2x\cos(3x+2) \right]$

จัดรูปใหม่ให้สวยงาม:

ตอบ:

$f'(x) = e^{x^2+1} \left( 2x\cos(3x+2) - 3\sin(3x+2) \right)$

ข้อ 15

โจทย์:

$y=\ln\left(\frac{\tan x^{2}}{\sqrt{x^{2}+5}}\right)$

วิธีทำ:

เทคนิค: ใช้สมบัติของ Logarithm กระจายพจน์ก่อนหาอนุพันธ์ จะทำให้ง่ายขึ้นมาก

สมบัติ: $\ln(\frac{A}{B}) = \ln A - \ln B$ และ $\ln(A^n) = n\ln A$

จัดรูป $y$ :

$y = \ln(\tan x^2) - \ln(\sqrt{x^2+5})$

$y = \ln(\tan x^2) - \ln((x^2+5)^{1/2})$

$y = \ln(\tan x^2) - \frac{1}{2}\ln(x^2+5)$

หาอนุพันธ์ทีละพจน์:

พจน์ที่ 1: $\frac{d}{dx}\ln(\tan x^2) = \frac{1}{\tan x^2} \cdot \sec^2 x^2 \cdot 2x$

พจน์ที่ 2: $\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2}\ln(x^2+5)\right) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2+5} \cdot 2x$

นำมารวมกันและจัดรูป:

$y' = \frac{2x \sec^2 x^2}{\tan x^2} - \frac{2x}{2(x^2+5)}$

$y' = \frac{2x \sec^2 x^2}{\tan x^2} - \frac{x}{x^2+5}$

(เพิ่มเติม: สามารถจัดรูปพจน์แรกด้วยเอกลักษณ์ตรีโกณได้ $\frac{\sec^2 A}{\tan A} = \frac{1/\cos^2 A}{\sin A/\cos A} = \frac{1}{\sin A \cos A} = \frac{2}{\sin 2A} = 2\csc 2A$ )

ดังนั้น พจน์แรก $\frac{2x \sec^2 x^2}{\tan x^2} = 2x(2\csc(2x^2)) = 4x\csc(2x^2)$

ตอบ (แบบทั่วไป):

$y' = 2x \cot(x^2)\sec^2(x^2) - \frac{x}{x^2+5}$

หรือ ตอบ (แบบจัดรูปสูงสุด):

$y' = 4x \csc(2x^2) - \frac{x}{x^2+5}$

Related

Discover more from KruJakkrapong 's Blog

Subscribe to get the latest posts sent to your email.

Leave a ReplyCancel reply