Mathematics O-Net PAT-1

EP.3 แก้โจทย์ลิมิตของลำดับ

Written by on

ฉันจะแก้โจทย์นี้โดยใช้สมบัติของลำดับฟิโบนักชี

กำหนด: F_1 = F_2 = 1 และ F_{n+2} = F_{n+1} + F_n เมื่อ n \geq 1

ต้องการหา: \lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}

วิธีแก้:

สมมติให้ \lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = L (สมมติว่าลิมิตมีอยู่)

จาก hint: \lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+2}}{F_{n+1}}

เนื่องจาก F_{n+2} = F_{n+1} + F_n เราสามารถเขียนได้ว่า:

    \[\frac{F_{n+2}}{F_{n+1}} = \frac{F_{n+1} + F_n}{F_{n+1}} = 1 + \frac{F_n}{F_{n+1}}\]

เมื่อ n \to \infty:

    \[L = \lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+2}}{F_{n+1}} = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{F_n}{F_{n+1}}\right) = 1 + \lim_{n \to \infty} \frac{F_n}{F_{n+1}}\]

เนื่องจาก \lim_{n \to \infty} \frac{F_n}{F_{n+1}} = \frac{1}{L}

ดังนั้น:

    \[L = 1 + \frac{1}{L}\]

    \[L^2 = L + 1\]

    \[L^2 - L - 1 = 0\]

ใช้สูตรกำลังสอง:

    \[L = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\]

เนื่องจาก F_n > 0 สำหรับทุก n และ F_{n+1} > F_n สำหรับ n \geq 1

ดังนั้น \frac{F_{n+1}}{F_n} > 1 ซึ่งหมายความว่า L > 1

เราจึงเลือก:

    \[L = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\]

คำตอบ: \lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} (อัตราส่วนทองคำ)

Discover more from KruJakkrapong 's Blog

Subscribe to get the latest posts sent to your email.

Leave a Reply