ไม่มีหมวดหมู่

EP.4 เฉลยแคลคูลัส ข้อ 16-20 (การหาอนุพันธ์โดยกฎลูกโซ่)

Written by จักรพงษ์ แผ่นทอง on ธันวาคม 23, 2025

ข้อ 16

โจทย์:

$f(x)=\arcsin\sqrt{x+5}$

วิธีทำ:

ใช้สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันอินเวอร์สไซน์: $\frac{d}{dx}\arcsin(u) = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot u'$

ให้ $u = \sqrt{x+5}$

หา $u'$ (อนุพันธ์ไส้ใน):

$u = (x+5)^{1/2}$

$u' = \frac{1}{2}(x+5)^{-1/2} \cdot (1) = \frac{1}{2\sqrt{x+5}}$

แทนค่ากลับลงในสูตรหลัก:

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x+5})^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+5}}$

จัดรูปภายในรากที่สอง (Squareroot):

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-(x+5)}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+5}}$

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x-5}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+5}}$

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{-x-4}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+5}}$

(หมายเหตุ: ฟังก์ชันนี้จะนิยามค่าได้เฉพาะช่วงที่ทำให้ค่าในรากเป็นจริงเท่านั้น ในที่นี้คือเมื่อ $-5 < x < -4$ )

รวมพจน์ (ถ้าต้องการ):

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{(-x-4)(x+5)}}$

ตอบ:

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{(-x-4)(x+5)}}$

หรือ

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{-x^2-9x-20}}$

ข้อ 17

โจทย์:

$y=\arctan(e^{x^2})$

วิธีทำ:

ใช้สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันอินเวอร์สแทนเจนต์: $\frac{d}{dx}\arctan(u) = \frac{1}{1+u^2} \cdot u'$

ให้ $u = e^{x^2}$

หา $u'$ :

$u' = e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = e^{x^2}(2x) = 2x e^{x^2}$

แทนค่ากลับลงในสูตร:

$y' = \frac{1}{1+(e^{x^2})^2} \cdot (2x e^{x^2})$

จัดรูป $(e^A)^B = e^{AB}$ :

$y' = \frac{2x e^{x^2}}{1+e^{2x^2}}$

ตอบ:

$y' = \frac{2x e^{x^2}}{1+e^{2x^2}}$

ข้อ 18

โจทย์:

$y=\ln^{3}(4x+1)+\ln(4x+1)^{3}$

วิธีทำ:

จัดรูปฟังก์ชันก่อนดิฟ เพื่อให้ง่ายขึ้น:

พจน์แรก: $\ln^3(4x+1) = [\ln(4x+1)]^3$

พจน์ที่สอง: ใช้สมบัติ $\ln(A^n) = n\ln A$ จะได้ $\ln(4x+1)^3 = 3\ln(4x+1)$

ดังนั้น

$y = [\ln(4x+1)]^3 + 3\ln(4x+1)$

หาอนุพันธ์ทีละพจน์:

ดิฟ $[\ln(4x+1)]^3$ (ใช้กฎลูกโซ่ $u^3$ ):
$= 3[\ln(4x+1)]^2 \cdot \frac{d}{dx}\ln(4x+1)$
$= 3[\ln(4x+1)]^2 \cdot \frac{1}{4x+1} \cdot 4$
$= \frac{12[\ln(4x+1)]^2}{4x+1}$
ดิฟ $3\ln(4x+1)$ :
$= 3 \cdot \frac{1}{4x+1} \cdot 4$
$= \frac{12}{4x+1}$

นำมารวมกัน:

$y' = \frac{12\ln^2(4x+1)}{4x+1} + \frac{12}{4x+1}$

ดึงตัวร่วม:

$y' = \frac{12}{4x+1} \left( \ln^2(4x+1) + 1 \right)$

ตอบ:

$y' = \frac{12(\ln^2(4x+1) + 1)}{4x+1}$

ข้อ 19

โจทย์:

$y=\sin(\ln(\cos x))$

วิธีทำ:

ใช้กฎลูกโซ่หลายชั้น:

ชั้นนอกสุด $\sin(u) \to \cos(u)$
ชั้นกลาง $\ln(v) \to \frac{1}{v}$
ชั้นในสุด $\cos x \to -\sin x$

ขั้นตอนการหาอนุพันธ์:

$y' = \cos(\ln(\cos x)) \cdot \frac{d}{dx}\ln(\cos x)$

$y' = \cos(\ln(\cos x)) \cdot \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{d}{dx}(\cos x)$

$y' = \cos(\ln(\cos x)) \cdot \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x)$

จัดรูป $\frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$ :

$y' = -\tan x \cdot \cos(\ln(\cos x))$

ตอบ:

$y' = -\tan x \cos(\ln(\cos x))$

ข้อ 20

โจทย์:

$f(x)=\sqrt[3]{\sin x - \cos x}$

วิธีทำ:

จัดรูปเป็นเลขยกกำลัง:

$f(x) = (\sin x - \cos x)^{\frac{1}{3}}$

ใช้กฎลูกโซ่แบบ $u^n$ :

$f'(x) = \frac{1}{3}(\sin x - \cos x)^{\frac{1}{3}-1} \cdot \frac{d}{dx}(\sin x - \cos x)$

$f'(x) = \frac{1}{3}(\sin x - \cos x)^{-\frac{2}{3}} \cdot (\cos x - (-\sin x))$

จัดรูป:

$f'(x) = \frac{\cos x + \sin x}{3(\sin x - \cos x)^{\frac{2}{3}}}$

หรือเขียนในรูปรากที่สาม:

ตอบ:

$f'(x) = \frac{\sin x + \cos x}{3\sqrt[3]{(\sin x - \cos x)^2}}$

Related

Discover more from KruJakkrapong 's Blog

Subscribe to get the latest posts sent to your email.

Leave a ReplyCancel reply