Mathematics O-Net PAT-1

EP.4 แก้โจทย์ลิมิตของลำดับ

Written by on

กำหนด: a_n = \frac{1}{n^k}(1 + (2 + 2) + (3 + 3 + 3) + \ldots + (n + n + \ldots + n))

โดยที่ k เป็นค่าคงตัวที่ทำให้ \lim_{n \to \infty} a_n = L เมื่อ L > 0 จงหาค่าของ 6(k + L)

วิธีแก้:

ก่อนอื่นมาหาสูตรของผลรวมในวงเล็บ:

  • พจน์ที่ 1: 1 (มี 1 ตัว)
  • พจน์ที่ 2: 2 + 2 (มี 2 ตัว) = 2 \times 2
  • พจน์ที่ 3: 3 + 3 + 3 (มี 3 ตัว) = 3 \times 3
  • …
  • พจน์ที่ n: n + n + \ldots + n (มี n ตัว) = n \times n = n^2

ดังนั้น:

    \[\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

เราได้:

    \[a_n = \frac{1}{n^k} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

    \[a_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^k} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^{k-1}}\]

ขยาย (n+1)(2n+1) = 2n^2 + 3n + 1:

    \[a_n = \frac{2n^2 + 3n + 1}{6n^{k-1}} = \frac{1}{6}\left(\frac{2n^2}{n^{k-1}} + \frac{3n}{n^{k-1}} + \frac{1}{n^{k-1}}\right)\]

    \[a_n = \frac{1}{6}\left(2n^{3-k} + 3n^{2-k} + n^{1-k}\right)\]

การหาลิมิต:

เพื่อให้ \lim_{n \to \infty} a_n = L > 0 (มีค่าจำกัด) พจน์ที่มีกำลังสูงสุดต้องมีเลขชี้กำลังเป็น 0

กำลังสูงสุดคือ 3-k ดังนั้น:

    \[3 - k = 0\]

    \[k = 3\]

เมื่อ k = 3:

    \[a_n = \frac{1}{6}(2n^0 + 3n^{-1} + n^{-2}) = \frac{1}{6}\left(2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}\right)\]

    \[\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1}{6}(2 + 0 + 0) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\]

ดังนั้น L = \frac{1}{3}

คำตอบ:

    \[6(k + L) = 6\left(3 + \frac{1}{3}\right) = 6 \times \frac{10}{3} = 20\]

Discover more from KruJakkrapong 's Blog

Subscribe to get the latest posts sent to your email.

Leave a Reply