Mathematics O-Net PAT-1

EP.5 แก้โจทย์ลิมิตของลำดับ

Written by on

โจทย์: ให้ b และ c เป็นจำนวนจริงคงที่ กำหนดลำดับ a_n โดยที่ a_1 = 1 และ a_{n+1} = a_n + cb^n

ถ้าลำดับ a_n มีลิมิตเท่ากับ 2 และ a_3 = \frac{3}{2} แล้ว |c - 2b| มีค่าเท่าใด

กำหนด:

  • a_1 = 1 และ a_{n+1} = a_n + cb^n
  • ลำดับ a_n มีลิมิตเท่ากับ 2
  • a_3 = \frac{3}{2}
  • |c - 2b| มีค่าเท่าใด

วิธีแก้:

ขั้นตอนที่ 1: หา a_2 และ a_3 ในรูป b และ c

จาก a_{n+1} = a_n + cb^n:

  • a_2 = a_1 + cb^1 = 1 + cb
  • a_3 = a_2 + cb^2 = (1 + cb) + cb^2 = 1 + cb + cb^2 = 1 + cb(1 + b)

ขั้นตอนที่ 2: ใช้เงื่อนไข a_3 = \frac{3}{2}

    \[1 + cb(1 + b) = \frac{3}{2}\]

    \[cb(1 + b) = \frac{1}{2}\]

… (1)

ขั้นตอนที่ 3: หาสูตรทั่วไปของ a_n

    \[a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} cb^k = 1 + c\sum_{k=1}^{n-1} b^k\]

ถ้า b \neq 1:

    \[a_n = 1 + c \cdot \frac{b(1-b^{n-1})}{1-b} = 1 + \frac{cb(1-b^{n-1})}{1-b}\]

ขั้นตอนที่ 4: ใช้เงื่อนไข \lim_{n \to \infty} a_n = 2

เพื่อให้ลิมิตมีค่าจำกัด ต้องมี |b| < 1

    \[\lim_{n \to \infty} a_n = 1 + \frac{cb(1-0)}{1-b} = 1 + \frac{cb}{1-b} = 2\]

    \[\frac{cb}{1-b} = 1\]

    \[cb = 1-b\]

… (2)

ขั้นตอนที่ 5: แก้ระบบสมการ (1) และ (2)

จาก (2): cb = 1-b แทนใน (1): (1-b)(1+b) = \frac{1}{2}

    \[1-b^2 = \frac{1}{2}\]

    \[b^2 = \frac{1}{2}\]

    \[b = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}\]

เนื่องจาก |b| < 1 ทั้งสองค่าเป็นไปได้

กรณีที่ 1: b = \frac{1}{\sqrt{2}}

    \[c = \frac{1-b}{b} = \frac{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2} - 1\]

    \[c - 2b = (\sqrt{2} - 1) - 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1 - \sqrt{2} = -1\]

กรณีที่ 2: b = -\frac{1}{\sqrt{2}}

    \[c = \frac{1-b}{b} = \frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{-\frac{1}{\sqrt{2}}} = -\sqrt{2} - 1\]

    \[c - 2b = (-\sqrt{2} - 1) - 2 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\sqrt{2} - 1 + \sqrt{2} = -1\]

คำตอบ: |c - 2b| = |-1| = 1

Discover more from KruJakkrapong 's Blog

Subscribe to get the latest posts sent to your email.

Leave a Reply