Partial Fractions เทคนิคการจัดรูปในคณิตศาสตร์

Partial Fractions เป็นเทคนิคสำคัญในแคลคูลัสที่ใช้แยกเศษส่วนที่มีพหุนามในตัวส่วนให้เป็นผลรวมของเศษส่วนง่ายๆ หลายตัว เพื่อให้การหาปริพันธ์ทำได้ง่ายขึ้น หรืออาจจะใช้สำหรับการจัดรูปเศษส่วนเพื่อทำอะไรบางอย่างให้ง่ายขึ้นเช่น การจัดรูปเศษส่วนเพื่อหา $S_n$ ที่เป็นอนุกรมเทเลสโคป

หลักการพื้นฐาน

เมื่อเรามีเศษส่วน $\frac{P(x)}{Q(x)}$ โดยที่ degree ของ P(x) < degree ของ Q(x) เราสามารถแยกมันให้เป็นผลรวมของเศษส่วนย่อยๆ ได้

ขั้นตอนการทำ

1. แยกตัวประกอบตัวส่วน Q(x)

หาตัวประกอบเชิงเส้น เช่น (x-a)
หาตัวประกอบกำลังสอง เช่น (ax²+bx+c)

2. เขียน Partial Fractions ตามรูปแบบ

สำหรับตัวประกอบแต่ละประเภท:

$(x-a)$ → $\frac{A}{x-a}$
$(x-a)^n$ → $\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + ... + \frac{A_n}{(x-a)^n}$
$(ax^2+bx+c)$ → $\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}$

3. หาค่าคงที่

คูณทั้งสองข้างด้วยตัวส่วนเดิม
แทนค่า x หรือเปรียบเทียบสัมประสิทธิ์

ตัวอย่างเบื้องต้น

$\frac{5x+2}{(x+1)(x-2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2}$

คูณทั้งสองข้างด้วย $(x+1)(x-2)$ :

$5x+2 = A(x-2) + B(x+1)$

แทน $x = -1$ : $5(-1)+2 = A(-3) \Rightarrow A = 1$ แทน $x = 2$ : $5(2)+2 = B(3) \Rightarrow B = 4$

ดังนั้น:

$\frac{5x+2}{(x+1)(x-2)} = \frac{1}{x+1} + \frac{4}{x-2}$

ตัวอย่างเพิ่มเติม Partial Fractions

ตัวอย่างที่ 2: ตัวประกอบซ้ำ (Repeated Factors)

$\frac{3x+1}{(x-1)^2(x+2)}$

เขียนในรูป Partial Fractions:

$\frac{3x+1}{(x-1)^2(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x+2}$

คูณทั้งสองข้างด้วย $(x-1)^2(x+2)$ :

$3x+1 = A(x-1)(x+2) + B(x+2) + C(x-1)^2$

แทนค่า:

$x = 1$ : $4 = B(3) \Rightarrow B = \frac{4}{3}$
$x = -2$ : $-5 = C(9) \Rightarrow C = -\frac{5}{9}$
$x = 0$ : $1 = A(-2) + B(2) + C(1) = -2A + \frac{8}{3} - \frac{5}{9}$

แก้หา A: $A = \frac{10}{9}$

ผลลัพธ์:

$\frac{3x+1}{(x-1)^2(x+2)} = \frac{10/9}{x-1} + \frac{4/3}{(x-1)^2} - \frac{5/9}{x+2}$

ตัวอย่างที่ 3: ตัวประกอบกำลังสอง (Quadratic Factors)

$\frac{2x^2+3x+1}{(x+1)(x^2+1)}$

เขียนในรูป Partial Fractions:

$\frac{2x^2+3x+1}{(x+1)(x^2+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$

คูณทั้งสองข้างด้วย $(x+1)(x^2+1)$ :

$2x^2+3x+1 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x+1)$

แทน $x = -1$ : $2-3+1 = A(2) \Rightarrow A = 0$

ขยายและเปรียบเทียบสัมประสิทธิ์:

$x^2$ : $2 = A + B = B \Rightarrow B = 2$
$x^1$ : $3 = B + C = 2 + C \Rightarrow C = 1$

ผลลัพธ์:

$\frac{2x^2+3x+1}{(x+1)(x^2+1)} = \frac{2x+1}{x^2+1}$

ตัวอย่างที่ 4: กรณีที่ degree ของตัวตั้ง ≥ degree ของตัวส่วน

$\frac{x^3+2x^2+3x+1}{x^2+x+1}$

ขั้นตอนแรก: ทำ polynomial long division ก่อน

$x^3+2x^2+3x+1 = (x^2+x+1)(x+1) + (x)$

ดังนั้น:

$\frac{x^3+2x^2+3x+1}{x^2+x+1} = x+1 + \frac{x}{x^2+x+1}$

เทคนิคในการหาค่าคงที่

วิธีที่ 1: แทนค่า x เฉพาะ – ใช้กับตัวประกอบเชิงเส้น วิธีที่ 2: เปรียบเทียบสัมประสิทธิ์ – ใช้ได้กับทุกกรณี วิธีที่ 3: Cover-up Method – วิธีเร็วสำหรับตัวประกอบเชิงเส้นที่ไม่ซ้ำ

การประยุกต์ใช้

หลังจากแยก Partial Fractions แล้ว สามารถหาปริพันธ์ได้ง่าย:

$\int \frac{A}{x-a} dx = A \ln|x-a| + C$
$\int \frac{A}{(x-a)^n} dx = \frac{A}{-(n-1)(x-a)^{n-1}} + C$ (เมื่อ n > 1)
$\int \frac{Ax+B}{x^2+px+q} dx$ ต้องแยกเป็น 2 ส่วนแล้วใช้เทคนิคต่างๆ

ตัวอย่างที่ 5: แยกเศษส่วนเพื่อหาผลรวมของอนุกรม [มีตัวอย่างที่ใช้ในบทความนี้]

โจทย์: หาผลรวม $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)}$

วิธีทำ: ใช้ Partial Fractions แยกเศษส่วน:

$\frac{1}{k(k+2)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+2}$

หาค่า A และ B:

คูณทั้งสองข้างด้วย $k(k+2)$ : $1 = A(k+2) + Bk$
แทน $k = 0$ : $1 = 2A \Rightarrow A = \frac{1}{2}$
แทน $k = -2$ : $1 = -2B \Rightarrow B = -\frac{1}{2}$

ดังนั้น:

$\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1/2}{k} - \frac{1/2}{k+2} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\right)$

การประยุกต์ใช้:

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\right)$

เขียนรายละเอียดออกมา (Telescoping Series):

$= \frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + ... + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right)\right]$

เมื่อจัดรูปใหม่:

$= \frac{1}{2}\left[\frac{1}{1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}\right] = \frac{1}{2}\left[\frac{3}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}\right]$