ลิมิตของลำดับ [แนวคิดและโจทย์ยาก]

วันนี้ผมสอนห้องกิ๊ฟเท็ด ฉะนั้นเนื้อหาอาจจะต้องยากกว่าเดิมอีกนิดหน่อย เป็นนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เรื่องลิมิตของลำดับอนันต์ครับ

เรื่องลิมิตของลำดับเป็นพื้นฐานที่สำคัญเรื่องหนึ่ง ที่นักเรียนจำเป็นต้องมี เพราะการเรียนเรื่องนี้มันมีความเกี่ยวเนื่องไปจนถึงเรื่อง calculus เป็นเรื่องการหาลิมิตของฟังก์ชัน ลำดับก็ถือว่าเป็นฟังก์ชันอันหนึ่งเช่นกันครับ

ถ้าจะอธิบายง่ายๆ ว่าลิมิตมันคืออะไรนะครับ ก็คือ การดูพฤติกรรมของลำดับว่า พจน์ที่อยู่ไกลๆ หรือหางของลำดับมันจะมีค่าเป็นอย่างไร ถ้ามันลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งลำดับนั้นก็จะถูกเรียกว่ามัน ลำดับลู่เข้า (Convergent Sequence) แต่ถ้าหากลำดับนั้นมีค่ามากขึ้นเรื่อยๆ หรือน้อยขึ้นเรื่อยๆ หรือแม้กระทั่งสลับไป สลับมามีค่าเป็นสองค่าตลอดเวลา แบบนี้เรียกว่า ลำดับลู่ออก (Divergent Sequence)

ถ้าเอาแบบนิยามของลิมิตจริงๆ ซึ่งถ้าใครได้เรียนสายคณิตมาจะรู้ดีว่า การลู่เข้าของลิมิตมันสามารถอธิบายด้วยนิยาม ลองศึกษาจากตัวอย่างนี้ครับ

https://www.geogebra.org/m/GAcTpGCh

แล้วบทความนี้ล่ะ จะทำอะไรดี

ผมจะพามาหาลิมิตของลำดับหนึ่งที่ขณะสอนนั้น ชะล่าใจไปนิดหนึ่งเลยถูกหลอกด้วยโจทย์ครับ

การหาลิมิตเมื่อเราเข้าใจหลักการของมันแล้ว บางลำดับมันสามารถดูแค่ดีกรีของเศษและส่วนเท่านั้นเราก็สามารถบอกได้ว่าลิมิตลู่เข้าหรือไม่ได้เลยครับ แทบไม่ต้องคำนวณกันเลยทีเดียว เพราะถ้าหากดีกรีสูงสุดของเศษและส่วนมีค่าเท่ากันแล้ว ค่าลิมิตมันจะมีค่าเท่ากับสัมประสิทธิ์ของเศษ หารด้วยส่วนเท่านั้นเอง

เรามาดูโจทย์นี้กันก่อนเลยครับ

$a_n=\frac{(\sqrt{n^2-1})(2n+\sqrt{n^2+1})^2}{n^2(3n-1)}$

เมื่อพิจารณาคร่าวๆ นั้น เราจะพบว่า ดีกรีสูงสุดของ $\sqrt{n^2-1}$ เท่ากับ 1 และดีกรีสูงสุดของ $(2n+\sqrt{n^2+1})^2$ น่าจะเกิด $4n^2$ เมื่อนำไปคูณกับส่วนหน้าจะได้ดีกรีของเศษทั้งหมดเป็น 3 และมีสัมประสิทธิ์ เป็น 4